Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Una prima cosa da notare è che il compasso collassabile
non conserva la misura di un segmento una volta che sia
staccato dal foglio. Quindi per riportare una lunghezza in
un’altra parte del piano, operazione necessaria in molte
costruzioni, bisogna seguire un certo procedimento. Descriviamo
la costruzione: dato il segmento AB, si tracci
la circonferenza di centro A e raggio AB e si scelga un
punto C (da questa scelta dipenderà la posizione del segmento
trasportato). Si disegni la retta che sega i punti A
e C e si segni il punto E di intersezione della retta con
la circonferenza. Si disegni ora la circonferenza di raggio
CE e centro C e si individui un particolare raggio di tale
circonferenza, precisamente quel raggio che è il prolungamento
del lato del triangolo equilatero costruito sul lato
AC. Il segmento DF è lungo quanto AB.
Fissiamo ora un segmento u come unità di misura. A partire da u, servendoci
di riga e compasso, possiamo facimente verificare che è possibile costruire:
• un qualsiasi numero un naturale n (basta riportare il segmento unitario
n volte su una retta);
• la somma e la differenza di due numeri costruibili a e b (per la somma
basta riportare consecutivamente i due segmenti e per la differenza basta
sovrapporli in modo che abbiano un vertice in comune);
• il prodotto di due numeri a e b: Consideriamo i due numeri (positivi) a e
b come lunghezze di segmenti, si disegni un triangolo che abbia due lati
di misura b e u, nella Fig. 1 si è considerato un triangolo rettangolo, ma
la costruzione vale per qualunque triangolo. Si prolunghi il lato unitario
finché non abbia lunghezza a e si disegni il triangolo simile a quello di
partenza con il lato a corrispondente al lato u. Questo triangolo ha il
cateto corrispondente al lato b di lunghezza ab come risulta facilmente
dalla similitudine tra i due triangoli;
• il quoziente di due numeri a e b (Per costruire il quoziente si procede in
modo analogo al prodotto con un procedimento inverso, Fig. 2).
Quindi con riga e compasso si possono costruire tutti gli elementi del campo
di razionalità definito dalle coordinate dei punti dati, K = [1, a, b, c, ...].
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