Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

19.2 I teoremi di incompletezza
Per una più chiara trattazione dei teoremi di incompletezza è necessario
dare una visione ad alto livello di quelle che sono le componenti che andremo
a trattare nel seguito.
Gödel certamente quando iniziò a dimostrare i teoremi di incompletezza
aveva ben in mente il fatto che bisognasse distinguere tra almeno tre mondi.
• Aritmetica intuitiva: studio dei numeri naturali così come viene condotto
nei libri di testo.
• Aritmetica formale: sistema formale puramente sintattico che cerca di
catturare le verità dell’arimetica intuitiva. Si parla di segni, formule,
regole di inferenza. Manipolazione di simboli tramite regole a partire da
assiomi. In poche parole il sistema formale così come era concepito da
Hilbert spogliato da ogni significato e interpretazione.
• Metamatematica: studio del sistema formale in questione. Enunciati
su proprietà puramente sintattiche godute dal sistema formale. Il programma
di Hilbert consisteva nel risolvere tutti i problemi, come quello
della coerenza, studiando sistemi formali da un punto di vista metamatematico,
utilizzando metodi finitistici, ad esempio rifiutando l’infinito
in atto.
Quello che Gödel riuscì brevemente a fare è stato immergere la metateoria
nella teoria, in modo tale da far parlare il sistema formale di se stesso e riuscire
a trovare un enunciato metamatematico che non può essere deciso dal sistema
formale stesso. In questo modo formula il primo teorema di incompletezza:
un sistema formale ricorsivamente assiomatizzabile, sufficientemente potente
e coerente, ha almeno una formula che non può essere decisa sulla base degli
assiomi.
Da questo teorema della metamatematica segue il secondo teorema di incompletezza:
dato che il primo teorema dice che esiste un enunciato indecidibile,
allora se è possibile provare la coerenza all’interno del sistema stesso,
questo enunciato lo si riesce a decidere. Da qui segue che non è possibile
provare la coerenza con il sistema stesso.
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