Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Russell e Whitehead rispondono a tale critica ammettendo di poter parlare
di tipi indeterminati (ambiguità dei tipi). Quest’idea sarà poi sviluppata a
partire dagli anni trenta da Quine e da Specker. Altri tentativi furono fatti per
superare questa difficoltà negli anni successivi, Carnap con l’introduzione dei
tipi transfiniti, Von Neumann con gerarchia dell’universo degli insiemi... Una
semplificazione ulteriore venne sviluppata contemporaneamente ed indipendentemente
da Weiner, Hausdorff e Kuratowski, che permette di ricondurre
la nozione di relazione a quella di insieme, questo tramite l’introduzione della
nozione di coppia ordinate (e per estensione di n-upla ordinata), ma non è
questa la sede per discutere di tali tentativi.
Una piccola nota a parte deve essere fatta a riguardo di Wittgenstein.
Ludwig Wittgenstein entrò inizialmente al Trinity college dove lavorava Russell
che subito lo prese come collaboratore. Wittgenstein in principio, come
appena detto, si mise a collaborare con Russell, dando consigli e contributi
nello sviluppo del suo pensiero.
Successivamente però, soprattutto dopo la prima guerra mondiale, si trovò
in aperto contrasto con le teorie di Russell e Frege, e pubblicò la sua quasi unica
opera: il Tractatus logico-filosofico, nel quale spiega come, secondo lui, la logica
era puramente filosofia. Di particolare interesse fu il Tractatus nell’ambito
del Circolo di Vienna, dove venne approfonditamente studiato ma, secondo
l’autore, mal interpretato.
17.5 Due obiezioni generali al logicismo
17.5.1 L’obiezione di Quine
Come abbiamo visto nel corso di questo lavoro, la derivazione della matematica
dalla logica richiede la quantificazioni su classi o su proprietà. Se
dunque la cosiddetta “logica di ordine superiore” e la teoria delle classi vengono
considerate teorie extralogiche la tesi logicista diviene banalmente falsa. Il
nucleo dell’obiezione di Quine al logicismo è proprio questo: egli ritiene che il
campo della logica sia limitato alla logica elementare, in cui è consentita solo
la quantificazione su individui concreti. Quine ammette che, per gli scopi della
matematica, può rivelarsi necessario quantificare su entità astratte - proprietà
o classi - e non lo considera affatto illegittimo; solo che ritiene che, quando si
passa da una teoria che ammette unicamente la quantificazione su proprietà si
passi da una teoria logica ad una teoria matematica vera e propria. Il confine
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