Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

accettate senza dimostrazione, e ragionevole elencarle insieme con i Postulati.
Una delle questioni più celebri dell’intera storia della matematica è il problema
della dimostrabilità del quinto postulato di Euclide detto anche “postulato
delle parallele”, ovvero la possibilità di provare tale postulato sfruttando
esclusivamente gli altri postulati della geometria euclidea. Appare innaturale
dubitare della verità di quanto esso afferma, come potrebbe infatti accadere
che da un punto esterno ad una retta data sia possibile tracciare ben due distinte
rette parallele alla stessa? L’esperienza quotidiana ricondotta al tavolo
da disegno sembra impedirlo.
Eppure, dal punto di vista strettamente teorico, centinaia di infruttuosi tentativi,
disseminati in due millenni di storia della matematica, portarono ad
ammettere che è impossibile dimostrare che la parallela tracciata ad una retta
per un punto esterno ad essa è l’unica retta parallela a quella retta condotta
per quel punto. Solo nel XIX secolo si giunse alla conclusione che il quinto
postulato era indimostrabile e sulla sua negazione furono fondate quelle conosciute
come “geometrie non euclidee”. Riassumento si possono distinguere i
cinque postulati in due specie:
• Postulati di esistenza nei quali si ammette la costruibilità di concetti
fondamentali (I,II,III);
• Postulati nei quali si ammette che alcune figure geometriche presentino
specifiche proprietà (IV,V).
Nozioni comuni.
Euclide enuncia ora cinque nozioni comuni che costituiscono la base di
tutto il pensiero deduttivo.
I cose uguali a una medesima cosa sono uguali anche tra loro;
II se cose uguali vengono aggiunte a cose uguali, gli interi sono uguali;
III se cose uguali vengono sottratte da cose uguali, i resti sono uguali;
IV cose che coincidono l’una con l’altra sono uguali l’una all’altra;
V l’intero è maggiore della parte.
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