Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

12.3.5 Gli insiemi derivati
Come affermato nel capitolo precedente, l’idea di insieme derivato giunse
nella mente di Cantor quando egli pensò di ripetere la costruzione dei domini
B, C,... considerando, anziché valori numerici, punti della retta.
Prima di giungere alla definizione precisa di insieme derivato, Cantor anticipò
le seguenti definizioni:
Definizione 29 (Insieme di punti). Chiamiamo insieme di punti ogni molteplicità
data, finita o infinita, di punti.
Definizione 30 (Punto limite). Per “punto limite di un insieme di punti P si
intende un punto della linea tale che in ogni suo intorno sia possibile trovare
infiniti punti di P .
Osserviamo che il punto limite corrisponde a quello che noi comunemente
chiamiamo punto di accumulazione.
Definizione 31 (Intorno). Per “intorno” di un punto si intende un qualsiasi
intervallo che contenga il punto nel suo interno.
Definizione 32 (Punto isolato). Se un punto non un punto limite è detto
“punto isolato”.
Cantor osservò subito che un insieme con un numero infinito di punti ha
almeno un punto limite.
Dopo queste premesse, poté dare la definizione di insieme derivato:
Definizione 33 (Primo insieme di punti derivato). Dato un insieme P , l’insieme
dei punti limite di P è detto “primo insieme di punti derivato” [erste
Ableitung] di P ed è indicato con P ′ .
Il primo insieme derivato di un insieme P è, dunque, l’insieme dei punti di
accumulazione di P .
Facciamo un esempio: sia P l’insieme di tutti i punti razionali della linea,
corrispondente all’insieme di tutti i numeri razionali A. Allora P ′ è insieme di
tutti i punti del continuo lineare, corrispondente all’insieme di tutti i numeri
reali
A questo punto Cantor proseguì affermando: “Se l’insieme P ′ non è composto
da un numero finito di punti, esso ha senz’altro un insieme derivato P ′′
che chiamerò derivato secondo di P ”. Esso risulta essere l’insieme dei punti
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