Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

di infiniti punti C il cui luogo è la curva descritta dall’equazione precedente.
Descartes specificò poi le condizioni cui dovevano soddisfare i coefficienti perché
la conica fosse una retta, una parabola, un’ellisse o un’iperbole. Sapeva
inoltre che con una opportuna scelta degli assi e dell’origine si poteva ottenere
la forma di equazione più semplice, ma non formulò nessuna delle forme canoniche
che conosciamo (cosa che in seguito farà Fermat).
Descartes utilizzava un sistema di coordinate oblique, quindi non sempre ortogonali,
e solo con ascisse e ordinate positive, per cui tracciava solo le porzioni
delle curve che giacevano in quello che noi chiamiamo primo quadrante. Delle
coordinate negative sapeva solo che erano orientate in senso inverso rispetto
a quelle positive ma non fece mai uso di tali coordinate. Egi era così poco
interessato a tracciare curve che non comprese a pieno il significato delle
coordinate negative. In Cartesio non c’è alcuna formula per la distanza o per
l’angolo formato da due rette; non c’è il grafico di alcuna curva nuova tracciata
direttamente a partire dalla sua equazione. Si potrebbe dire quindi che
La géométrie, pur essendo dedicata interamente alla interazione tra algebra e
geometria, è ben lontana dalla geometria analitica in uso oggi.
Sempre nel secondo libro è presente una classificazione delle curve in base al
grado e questo rappresenta un passo avanti rispetto ai greci che non avevano
ammesso come legittime costruzioni che facevano uso di curve diverse da rette
o circonferenze. Nella prima classe Descartes raggruppò i problemi che portavano
a equazioni di secondo grado e che potevano perciò essere costruiti con
riga e compasso; nella seconda classe riunì quelli che portavano a equazioni
di terzo e quarto grado, le cui radici potevano venire costruite per mezzo di
sezioni coniche...in generale la costruzione delle radici di un’equazione di grado
2n o 2n-1 era un problema della classe n.
Descartes sottopose ad esame critico le distinzioni fatte dai greci tra curve
piane, solide e lineari. C’era la convinzione che fossero legittime soltanto le
curve costruibili con riga e compasso. I matematici greci dividevano le curve
in tre categorie:
• i luoghi piani, formati da tutte le rette e da tutti i cerchi;
• i luoghi solidi , formati da tutte le sezioni solide;
• i luoghi lineari, che comprendevano indistintamente tutte le altre curve.
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