Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

di volte in entrambi; tale segmento starà un numero finito di volte anche nella
differenza CD−AB, pertanto il problema si riduce a trovare il rapporto tra AB
e CD −AB. Se con la differenza riusciamo a misurare AB allora abbiamo finito;
altrimenti proseguiamo considerando la differenza tra i due nuovi segmenti
e così via, finché non troviamo il segmento che risolve il problema, che esiste
poiché abbiamo supposto AB e CD commensurabili. Vediamo che in effetti il
procedimento ha un termine: sia 1 il segmento che misura i due segmenti, cioè
l’unità di lunghezza. Supponiamo che AB = m 1
n
n
e CD = p 1
n
e consideriamo
m e p: sottraiamo ripetutamente il più piccolo, ovvero m, dal più grande,
finché otteniamo un resto r1 inferiore ad m per cui p = q1m + r1. Sottraiamo
ora ripetutamente r1 da m fino ad ottenere m = q2r1 + r2, r2 < r1. Iterando il
procedimento, si osserva che ha termine perché m > r1 > r2 > r3 > . . . è una
successione decrescente che dovrà arrivare all’unità di misura, rappresentata
dall’ultimo resto rm = MCD(p, m).
Nel caso in cui i due segmenti non siano commensurabili, non ci sarà invece
un termine. Osserviamo che possiamo scrivere p
m = q1 + r1 m
e = q2 +
m r1
r2
,
r1
da cui segue p
m = q1 +
1
q2 + r2 . Procedendo così troveremo una successione di
r1
frazioni finita nel caso di segmenti commensurabili, infinita nel caso contrario.
Quindi possiamo scrivere p
come frazione continua:
m
p
m = q1 +
1
q2 + 1
q3+...
Possiamo quindi dire che il rapporto tra due numeri è un razionale se la
successione di frazioni è finita, sarà invece un nuovo numero se non lo è.
Se pensiamo un numero reale a con la consueta notazione decimale, a =
n, a0a1a2a3 · · · = n + a0 a1
+ + . . . , possiamo notare che ricorda la frazione
10
100
continua. L’idea di Cantor consiste nell’identificare un numero reale con la
successione di somme parziali di elementi di Q
n, n + a0 a0 a1
, n + + , . . .
10 10 100
e sfrutterà il fatto che in R ogni successione di Cauchy ammette limite.
Vediamo ora la trattazione rigorosa.
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