Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

ette condotte da C alle quattro rette date in modo che formino con ciascuna
di esse un angolo pure dato che può essere diverso da retta a retta e tali che
il prodotto di una parte di queste linee sia uguale al prodotto delle rimanenti
o che l’uno ( di questi prodotti) stia all’altro in un rapporto dato. Denotiamo
queste quattro rette con CB, CD, CF e CH. Si richiede di trovare il luogo dei
punti C tali che CB · CF = CD · CH.
Dopo aver esposto il problema Cartesio inizia a risolverlo. Qui il matematico
espone la sua visione delle coordinate su un piano.
Innanzi tutto suppongo il problema come già risolto e per liberarmi dalla
confusione di tutte queste linee, considero una delle rette date e una di quelle
che bisogna trovare, per esempio AB e CB, come le principali, e a queste cerco
di riferire tutte le altre. Il segmento AB sia chiamato x e BC y e siano poi
prolungate tutte le altre linee date fin quando non intersechino queste due.
Descartes chiama AB con x e CB con y e prolunga tutte le altre finché
non le interseca. Mediante delle costruzioni geometriche ottiene i valori delle
altre rette in termini di quantità note e così esprime in tali termini CB · CF =
CD · CH giungendo all’equazione generale
y 2 = ay − bxy + cx − dx 2
dove a,b,c e d sono numeri reali dipendenti dalle quantità date. Descartes
osserva inoltre che, scegliendo un qualsiasi valore di x, si ottiene un’equazione
di secondo grado in y che può essere risolta rispetto ad y e che quindi y può
essere costruita geometricamente come aveva spiegato nel libro I. Se, quindi,
si hanno infiniti valori di x, si hanno infiniti valori di y che sono le coordinate
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