Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

grado superiore al 5 ◦ è la memoria Réflexions sur la résolution algébrique des
équations, presentata all’Accademia di Berlino il 1770. Più che le Meditationes
di Waring o l’articolo di Vandermonde, furono le Réflexions a influenzare in
misura determinante i successi vi sviluppi della teoria delle equazioni.
Lagrange cambiò il modo di affrontare il problema passando da un approccio
a posteriori ad un approccio a priori. Fino ad allora si era sempre cercato
di applicare i metodi risolutivi già trovati per le equazioni di 3 ◦ e 4 ◦ grado
alle equazioni di grado superiore o uguale a 5, ottenendo risolventi di gradi
maggiori del grado del problema di partenza. Nelle Réflexions troviamo invece
scritto:
“In questa memoria mi propongo invece di esaminare i differenti
metodi trovati finora per la risoluzione algebrica delle equazioni, di
ridurli a dei principi generali e di far vedere a priori perché questi
metodi funzionano per il terzo e quarto grado, e vengono meno per
i gradi successivi”.
Lagrange esaminava quindi il caso delle equazioni di terzo e quarto grado,
giungendo alla conclusione che tutti portavano alla considerazione delle equazioni
risolventi, i cui coefficienti si possono esprimere razionalmente per mezzo
dei coefficienti dell’equazione proposta e il cui grado era minore del grado dell’equazione
proposta.
Nemmeno Lagrange giunse quindi ad una soluzione al problema, ma lo affronto
in maniera più critica, cercando di comprendere il più possibile i meccanismi
che avevano portato alle formule di Cardano e Ferrari e spostando l’attenzione
sulla teoria delle permutazioni delle radici. Nonostante la sua intima convinzione
dell’impossibilità di trovare una soluzione per le equazioni di grado 5
e superiori, lasciò aperta la questione, dal momento che “questa applicazione
richiede un numero troppo grande di ricerche e di combinazioni il cui successo
è assai dubbio” per potersi impegnare in una simile impresa. Era sufficiente
per lui aver posto “i fondamenti di una teoria che ci pare nuova e generale”.
Lagrange stabiliva poi numerosi e importanti teoremi delle funzioni razionali
delle radici di un’equazione, le radici n-esime dell’unità e il grado delle equazioni
risolventi, tra cui il risultato fondamentale che “tutte le funzioni simili
delle radici di una stessa equazione sono necessariamente date da equazioni
dello stesso grado”. Più semplicemente le funzioni delle radici che hanno lo
stesso comportamento rispetto alle permutazioni delle radici stesse sono date
da equazioni dello stesso grado e tale grado sarà n! oppure un sottomulti-
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