Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

di accumulazione dei punti di accumulazione di P .
Con ν di questi passaggi arriviamo al concetto di derivato ν-esimo di P .
Considerando questi insiemi derivati, Cantor diede un’ulteriore definizione:
Definizione 34 (Essere dell’ ν-esima specie per un insieme di punti). Dato un
insieme di punti P , dato un intero ν, se P (ν) è composto da un numero finito
di punti (e dunque P (ν+1) non esiste), allora si dice che P è dell’ “ν-esima
specie”.
Per dimostrare l’esistenza di P (ν) considerò un punto la cui ascissa fosse
una quantità numerica ρ del ν-esimo tipo. La successione che la determina è
costituita da quantità numeriche del (ν − 1)-esimo tipo. La successione che
determina ciascuna di queste quantità è del (ν − 2) tipo e così via. Alla fine
ottenne una successione di razionali e l’insieme dei punti aventi tali ascisse
costituiva l’insieme dei punti del ν-esimo tipo.
Così facendo Cantor era riuscito a determinare insiemi infiniti di punti con
proprietà strutturali rigorosamente specificate e fu quindi in grado di estendere
ulteriormente il suo teorema dell’unicità delle serie trigonometriche a questi
particolari insiemi infiniti.
Teorema 35. Se un’equazione è della forma
0 = 1
2 c0
∞�
+ cn sin nx + dn cos nx (12.8)
n=1
per tutti i valori di x ad eccezione di quelli che corrispondono ai punti di un
dato insieme di punti P di ν-esima specie nell’intervallo (0, 2π), con ν intero,
allora c0 = cn = dn = 0 per ogni intero n.
Riprendendo quanto visto nel paragrafo 12.3.2, con questo teorema Cantor
afferma che:
date due serie trigonometriche
e
f(x) = 1
2 a0 +
f(x) = 1
+∞ �
n=1
2 a′ +∞ �
0 +
n=1
(ancos(nx) + bnsin(nx))
(a ′ ncos(nx) + b ′ nsin(nx))
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