Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Egli era legato infatti al rigore assoluto come al principio irrinunciabile per
fare analisi ed era quindi contrario alle dimostrazioni ’geometriche’ in cui le
funzioni erano disegnate e si facevano considerazioni geometriche sul grafico,
metodo che spesso nascondeva facilmente errori e ipotesi implicite importanti.
Aveva quindi filosoficamente le idee di Bolzano, il quale però diede un contributo
concreto alla formalizzazione dell’analisi sicuramente minore e inoltre
non riconosciuto dai matematici di allora.
La sua prima fondamentale ricerca riguardò la sistemazione del teorema
errato di Cauchy sulla somma di funzioni continue: per risolvere il problema
definisce la convergenza uniforme di funzioni e dimostra il teorema con questa
famosa ipotesi, che avrà una forte importanza nella successiva costruzione della
teoria delle funzioni.
Altre definizioni che lui specifica in maniera rigorosa, e che prima di allora
erano usate con leggerezza, sono quelle di massimo, minimo, estremo inferiore
ed estremo superiore, e sistema quindi i teoremi che ne facevano uso, trovando
gravi errori nelle dimostrazioni, che vengono quindi riscritte. Ancora oggi molti
teoremi fondamentali dell’analisi sono insegnati dandone le sue dimostrazioni.
Inoltre spesso, per convincere gli altri matematici della necessità del rigore,
costruiva controesempi celebri ai loro ’teoremi’ dimostrati con l’abuso della
geometria, uno dei più celebri è la funzione continua in ogni punto e non
derivabile in nessun punto:
f(x) =
+∞ �
n=1
a n cos(b n πx) ∀0 < a < 1 ab > 1 + 3π
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che contraddiceva molte ’dimostrazioni’ geometriche. Queste infatti spesso
presupponevano che ogni funzione continua non fosse derivabile al massimo in
un insieme discreto di punti.
10.4 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
Riemann è un matematico sicuramente ricordato maggiormente per le sue
scoperte in campo geometrico, ma non si può non citare il suo lavoro nell’ambito
dell’analisi complessa e la definizione di integrale. In questo caso egli
espone la definizione moderna di integrale, che, a differenza di quella di Cauchy,
prevede l’utilizzo di intervalli dal passo non costante.
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