Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

∀x(¬Dim(x, Sost(n, 31, n)))
Ma questa formula afferma l’indimostrabilità della formula con numero
di Gödel Sost(n, 31, n), che è esattamente il suo numero di Gödel. 5 Dunque
questa formula afferma nientemeno che la propria indimostrabilità!
Si può vedere chiaramente una somiglianza con il paradosso del mentitore,
che afferma “Questa proposizione è falsa”. La situazione è molto simile, in
quanto l’enunciato della proposizione (γ) in concreto dice “Questa proposizione
è indimostrabile”. In realtà la differenza fondamentale sta nel fatto che viene
usata l’idea di dimostrabilità invece di quella di verità e questo non ci fa
ricadere in un paradosso, come potrebbe sembrare.
19.3.4 Il Primo Teorema di Gödel
Sia nγ il numero di Gödel della proposizione (γ). Se ¯n codificasse una
dimostrazione di (γ), allora all’interno di PA sarebbe possibile dimostrare che
vale Dim(¯n, nγ) e dunque si avrebbe PA⊢ Dim(¯n, nγ).
Vediamo cosa si può dire della dimostrabilità della proposizione (γ).
Supponiamo che la proposizione (γ) sia dimostrabile, cioè PA⊢ (γ). Riscrivendo
al posto di (γ) il suo enunciato, questo equivale a PA⊢ ¬∃n(Dim(n, nγ)).
Ma, essendo (γ) dimostrabile, allora esiste un ¯n tale che codifichi una dimostrazione
di (γ), e dunque PA⊢ Dim(¯n, nγ).
Allora si può dimostrare che PA⊢ ∃n(Dim(n, nγ)) 6 . Ma è stato prima visto
che vale anche PA⊢ ¬∃n(Dim(n, nγ)), il che è impossibile in un sistema
coerente. Dunque (γ) non è dimostrabile all’interno del sistema PA.
Supponiamo allora che la negazione di (γ) sia dimostrabile.
Per affrontare questa parte del problema abbiamo bisogno del concetto di ωcoerenza.
Un sistema si dice ω-incoerente se per una formula del linguaggio
è contemporaneamente possibile provare ∃x(φ(x)) e ¬φ(0), ¬φ(1), ¬φ(2),...
cioè se è possibile dimostrare che esiste un numero che rende vera φ, ma tale
numero non è 0, non è 1, non è 2,....
L’ω-coerenza è una condizione più forte della coerenza semplice.
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In pratica l’utilizzo della numerazione di Gödel per le formule ci ha permesso di scrivere
proposizioni autoreferenziali.
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Si può vedere che questo equivale a dire che ¬(γ) è dimostrabile, il che è impossibile, dal
momento che abbiamo supposto (γ) dimostrabile e il sistema coerente.
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