Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

appartenga loro; il teorema non ha eccezione alcuna, sempre che ogni sotto
dominio a (tutti gli a sono per ipotesi n-dimensionali) abbia un volume determinato
(piccolo a piacere) e che i diversi a coincidano al massimo lungo i
contorni.
La dimostrazione del teorema procede così: lo spazio n-dimensionale infinito A
sia correlato per mezzo di radii vectores reciproci a una figura n-dimensionale
B posta all’interno di uno spazio infinito (n + 1)-dimensionale A’ e caratterizzata
dal fatto che i suoi punti hanno distanza costante 1 da un punto fisso
dello spazio A’ . (Nel caso di n = 1 si tratterà di un cerchio di raggio unitario,
nel caso di n = 2 di una sfera di raggio unitario). A ogni sotto dominio
n-dimensionale a di A corrisponde un sotto dominio n-dimensionale b di B
con un volume determinato; ora, se è possibile dimostrare la numerabilità dell’insieme
(b), ne seguirà, a causa della correlazione biunivoca, la numerabilità
dell’insieme (a).
Ma l’insieme (b) è numerabile perché il numero dei domini b il cui volume
è maggiore di un numero γ comunque assegnato è necessariamente finito: la
loro somma, infatti, è minore di 2 n π cioè del volume della figura B, che contiene
tutti i b; ne consegue che i domini b possono essere ordinati, rispetto
alla grandezza del volume, in una successione semplicemente infinita tale che
i più piccoli seguono i più grandi e nel loro susseguirsi diventano, da ultimo,
infinitamente piccoli.
Il caso di n = 1 ci dà il seguente teorema, essenziale per l’ulteriore sviluppo
della teoria degli insiemi lineari di punti: ogni classe di intervalli (α...β)
disgiunti e coincidenti al massimo negli estremi definita su di una linea retta
infinita è necessariamente una classe numerabile. Ciò vale anche per l’ insieme
degli estremi α e β, ma può non valere per la sua derivata.
Il caso di n = 2, che esprime la numerabilità di ogni classe di porzioni di
superficie disgiunte e in contatto al massimo lungo i contorni, appare significativo
per la teoria delle funzioni di grandezze complesse. Qui osserverò che
non e difficile estendere questa proposizione alle classi di porzioni di superficie
disgiunte definite in un dominio che copra il piano m volte, o anche un’infinità
numerabile di volte.
Per quanto riguarda gli insiemi di punti numerabili, essi presentano un fenomeno
notevole che vorrei ora mettere in luce. Consideriamo un qualsiasi
insieme di punti (M) che sia ovunque denso in un dominio n-dimensionale
continuo e connesso A e possieda la proprietà della numerabilità, sia cioè tale
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