Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Costruzioni simili venivano fatte per le equazioni z2 = az − b2 e z2 + az = b2 le sole altre di secondo grado con radici positive.
Per l’equazione z2 = az−b2 sapendo che le soluzioni erano z = a
2 ±
��� � �
a 2
2 − b2 e trascurando la radice negativa, procedeva invece in questo modo: tracciava
un segmento LM di lunghezza b e da L innalzava un segmento NL uguale
ad a
2 e perpendicolare a LM. Con centro in N costruiva un cerchio di raggio
a
2 . Considerava poi il rettangolo LMON e indicava con Q e R le intersezioni
della retta per M e O con la circonferenza. Tracciava inoltre i raggi NQ e
NR: si notava quindi il triangolo rettangolo NOR dove OR per il Teorema
di Pitagora è uguale a OR = � (NR2 − NO2 ��� � �
a 2
) = 2 − b2 . Si nota che
z = MR = MO + OR = a
2 +
��� � �
a 2
2 − b2 era il segmento cercato ovvero
rappresentava geometricamente la soluzione.
L’associazione curve-equazioni
Fin qui potremo dire che Descartes si preoccupava della risoluzione dei problemi
geometrici determinati, ovvero quelli che portano ad un’unica soluzione.
Nel II libro viene invece esposta la risoluzione dei problemi geometrici indeterminati,
cioè problemi in cui ci possono essere molte lunghezze che possono
servire da soluzione. Ed è in questo libro che vi sono i risultati più vicini alla
concezione moderna della geometria analitica: qui compare, e soltanto di passaggio,
la scoperta che le equazioni indeterminate in due incognite corrispondono
a luoghi geometrici. Con il suo metodo per la risoluzione dei problemi
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