Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Sembra che Platone sia venuto a conoscenza dei cinque solidi regolari proprio
a seguito di uno dei suoi incontri con l’amico pitagorico Archita e non è
poi escluso che sia stato proprio il culto pitagorico per la figura geometrica
del dodecaedro a indurre Platone a considerare questo quinto e ultimo solido
regolare come simbolo dell’universo. Platone considerava il dodecaedro come
composto di 360 triangoli più belli, infatti, tracciando le cinque diagonali e le
cinque mediane di ciascuna delle facce pentagonali, ognuna di queste risulterà
formata da trenta di tali triangoli.
Sebbene il Timeo, probabilmente scritto quando Platone era quasi settantenne,
fornisca la prima testimonianza precisa circa l’associazione dei quattro
elementi con i solidi regolari, può darsi che gran parte di questa concezione
altamente speculativa risalga ai pitagorici. A proposito di ciò le fonti sono
discordanti: probabilmente la costruzione delle figura cosmiche è attribuibile
a Pitagora oppure a Teeteto, amico di Platone. Sembra comunque verosimile
che quest’ultimo abbia studiato più a fondo di ogni altro matematico i cinque
solidi regolari e forse è dovuto a lui il teorema secondo cui vi sono cinque e solo
cinque poliedri regolari. E’ inoltre possibile che a lui vada attribuito il merito
di aver calcolato i rapporti tra i lati dei solidi regolari e i raggi delle sfere
circoscritte, discussi negli Elementi di Euclide. Alcuni riferimenti contenuti
in opere storiche antiche indicano che Teeteto fece scoperte nel campo della
geometria elementare che vennero poi incorporate negli Elementi. Gli scritti
di Teeteto sono, però, andati perduti.
Riportiamo qui una dimostrazione moderna del seguente
Teorema 5. I solidi regolari sono cinque.
Dimostrazione. Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono
regolare possono essere facce di poliedri regolari; infatti in un vertice di un
poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stiano sullo stesso piano,
quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360 ◦ .
- Ogni angolo di un triangolo equilatero misura 60 ◦ , quindi è possibile far
incontrare in un vertice 3 facce (3 · 60 = 180) ottenendo un tetraedro
regolare, 4 facce (4 · 60 = 240) ottenendo un ottaedro regolare e 5 facce
(5 · 60 = 300) ottenendo un icosaedro regolare.
- Ogni angolo di un quadrato misura 90 ◦ : è quindi possibile far incontrare
in un vertice 3 facce (3 · 90 = 270) ottenendo un cubo.
147