Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

stesso Kronecker, di Cayley, Von Dyck e Weber; quest’ultimo diede la definizione
di gruppi finiti nel 1882 e gruppi infiniti nel 1893. Dopo l’introduzione
della nozione astratta lo studio dei matematici cercò di capire la struttura
dei gruppi indipendenti da permutazioni o trasformazioni. Da questo nasce
l’interesse per la rappresentazione dei gruppi.
Gruppi di sostituzione
Per gruppi di sostituzione si intendono quelli che noi oggi chiamiamo gruppi
di permutazione. I primi a studiare queste strutture furono Lagrange (1736-
1813), Ruffini (1765-1822) e Cauchy (1789-1857) i cui interessi concernevano
equazioni generali di un certo grado n a n variabili indipendenti. Inoltre essi
introdussero i concetti di classe laterale e indice di un sottogruppo.
Ci fu un secondo gruppo di matematici che studiò i gruppi di sostituzione, tra
questi ricordiamo Jordan (1838-1922), Sylow (1832-1918) e Frobenius (1849-
1917).
Sylow fondò una teoria basata sulla definizione di sottogruppo di Sylow.
Definizione 20. Dato un gruppo finito G di indice n si dice p-sottogruppo
di Sylow un sottogruppo H di G di ordine p α tale che p α divide n e p α+1 non
lo divide.
La Teoria di Sylow è considerata molto importante nella Teoria dei Gruppi
perché permette la scomposizione di gruppi complessi in sottogruppi più semplici;
si basa su tre teoremi che Sylow dimostrò intorno al 1872 detti appunto
Teoremi di Sylow:
• Sia G un gruppo finito e |G| il suo ordine, allora per ogni primo p e per
ogni intero α tali che p α divida |G|, esiste un sottogruppo di G di ordine
p α .
• Sia G un gruppo e |G| = p α m con p e m coprimi. Allora tutti i psottogruppi
di Sylow sono coniugati, ovvero ∀H, K ∈ Sylp(G) ∃g ∈ G :
g −1 Hg = K, dove per Sylp(G) si intende l’insieme di tutti i p-sottogruppi
di Sylow di G.
• Sia G un gruppo e |G| = p α m con p e m coprimi. Allora detto np il
numero dei p-Sylow di G si ha:
– np|m,
– np ≡ 1 mod p.
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