Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

per lasciare il posto ad un nuovo presente. In questo modo il secondo elemento
della duo-unità stesso si scinde in due, incorporando una nuova duo-unità
nella vecchia. Si arriva così al 3, poi al 4 e così via, fino ad ottenere i numeri
naturali.
È proprio l’intuizione che questo processo può essere iterato a dar
luogo al primo ordinale infinito ω; ma quest’infinità deve essere pensata come
potenziale, non come attuale.
Nella sua tesi del 1907, Brouwer era stato chiaro sul fatto che la duo-unità
permette la costruzione non solo dei naturali (quindi del discreto), ma anche
del continuo, che è, secondo lui, ciò che “sta tra” i due elementi della duo-unità:
è l’astrazione del tempo che scorre tra “passato” e “presente”. Per costruirlo
però non sono sufficienti due elementi, così Brouwer introduce le sequenze di
scelta e le specie.
Una sequenza di scelta è una sequenza potenzialmente infinita di oggetti matematici,
scelti uno dopo l’altro dal soggetto che crea (anche le sequenze stesse
secondo Brouwer sono oggetti matematici). Supponiamo di avere a disposizione
una collezione di oggetti matematici, ad esempio i numeri naturali.
Scegliendone un certo numero (reinserendo nella collezione quello scelto ogni
volta) otterremo ad esempio: 33, 4, 5, 33, 8. Pensando che la sequenza che
stiamo costuendo è potenzialmente infinita otteniamo una sequenza di scelta,
di cui il segmento iniziale è la parte finita che abbiamo portato ad esempio.
Anche se in realtà non possiamo fare un numero infinito di scelte, possiamo
sempre estendere un segmento iniziale facendo ulteriori scelte. Brouwer distinse
diversi tipi di sequenze di scelta: il soggetto è libero nelle sue scelte, dunque
è anche libero di porvi delle restrizioni, creando delle “lawlike choise sequences”,
oppure di proibire tali restrizioni, creando le “lawless choise sequences”.
Questi tipi di sequenze sono solo gli estremi di una grande varietà di sequenze
di scelta, che in generale possiamo esprimere come una successione di enti
matematici (ni) ciascuno dei quali soggetto alle restrizioni (in numero finito)
R i 1 , Ri 2 , ...Ri ki : (ni, R i 1 , Ri 2 , ...Ri ki )i∈N. Si noti che gli oggetti della matematica
classica hanno proprietà indipendenti dai soggetti e sono statici, a differenza
delle sequenze di scelta, che oltre a dipendere chiaramente dal soggetto e dalle
sue scelte cambiano anche nel tempo.
Assieme alle sequenze di scelta Brouwer introdusse la nozione di specie, che
corrisponde più o meno all’idea di insieme di Cantor, essendo una collezione
di sequenze di scelta. Tuttavia, un’importante differenza tra specie e insiemi
cantoriani è che le specie non possono essere identificate con i loro elementi:
insiemi definiti in maniera diversa ma con gli stessi elementi sono considerati
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