Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

tria - che, in accordo con Kant, riteneva poggiasse su un’intuizione a priori
- l’aritmetica era analitica; essa, in definitiva, non era altro che una branca
della logica.
L’obiettivo finale di Frege era mostrare che l’aritmetica poteva essere formalizzata
senza ricorrere affatto a nozioni o assiomi esterni alla logica, e che
dunque essa era fondata esclusivamente sulle leggi generali che governano ogni
ambito della conoscenza, senza riferimento a fatti empirici. L’Ideografia, oltre
alla formulazione del calcolo proposizionale e funzionale, conteneva un importante
lavoro preparatorio per la riduzione della matematica alla logica; ma la
presentazione completa della tesi di Frege avrebbe dovuto attendere fino alla
pubblicazione del suo libro I fondamenti dell’aritmetica (Die Grundlagen der
Arithmetik) nel 1884.
Grazie anche all’Ideografia, Frege diventò docente regolarmente retribuito.
Il libro tuttavia non ricevette in generale una buona accoglienza dal mondo
dei logici e matematici. La notazione di Frege era bidimensionale e tabulare e
secondo i critici questa scelta era ingombrante e priva di utilità.
Forse a causa dell’accoglienza sfavorevole riservata al primo libro, scrisse I
fondamenti dell’aritmetica in uno stile molto differente. Il ricorso alla notazione
simbolica è in confronto modesto e vi è uno sforzo costante di confrontarsi
con le posizioni di altri autori.
Quasi metà del libro è dedicata a criticare le idee di predecessori e contemporanei,
inclusi Kant e Mill. Nel corso di queste critiche viene preparato
il terreno per la posizione logicista. Nella parte restante del lavoro, quella più
importante, Frege mostrava come rimpiazzare la generale nozione aritmetica
di numero con nozioni logiche come quelle di concetto, del cadere di un oggetto
sotto un concetto, di equivalenza tra concetti e di estensione di un concetto.
Egli offriva definizioni, in termini puramente logici, dei numeri zero e uno, e
della relazione che ogni numero ha con il suo predecessore nella serie numerica.
A partire da questi elementi, insieme con le leggi generali della logica,
proponeva di derivare l’intera teoria dei numeri.
I fondamenti dell’artimetica, sebbene sia un libro davvero innovativo, quando
fu pubblicato ebbe un’accoglienza più fredda di quella dell’Ideografia. Apparvero
solo tre recensioni, tutte ostili, e per quasi vent’anni il libro fu completamente
ignorato. Frege fu deluso, ma questo non gli impedì di portare
avanti il suo importante progetto.
Di fatto, con queste due opere egli non soltanto ha fondato la logica moderna,
ma ha dato anche un rinnovato impulso alla filosofia della logica. Il passo
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