Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

12.9 L’ipotesi del continuo
In precedenza si è visto che il primo numero cardinale transfinito era la
potenza dell’insieme di tutti i numeri cardinali finiti, ovvero quella della prima
classe numerica (I).
Cantor fu particolarmente attento nello scegliere la notazione per i numeri
cardinali transfiniti ed infine la scelata cadde su ‘aleph’, ovvero sulla prima
lettera dell’alfabeto ebraico.
E’ stato dimostrato in precedenza che la potenza della seconda classe (II)
è diversa da quella della prima (I) ed è quella immediatamente successiva,
quindi devono esistere almeno due cardinali diversi; Cantor denotò con ℵ0 la
cardinalità della prima classe numerica (I) e con ℵ1 quella della seconda (II).
Segue dunque immediatamente che
Card(N) = ℵ0
In precedenza aveva inoltre dimostrato che
Card(R) ¿ Card(N)
e, utilizzando le nuove notazioni per i cardinali, che
Poiché
Card(P(N)) = 2 Card(N) = 2 ℵ0 .
Card(P(N)) = Card(R)
riunendo tutte le relazioni appena citate, risulta che
Card(R) = 2 ℵ0 > ℵ0;
tale relazione in realtà vale in generale, ovvero 2 esponenziato da un numero
cardinale transfinito dà origine ad un numero cardinale maggiore del numero
all’esponente, (ovvero 2 ℵ > ℵ, con ℵ numero cardinale transfinito).
Nasce così il problema di stabilire se la relazione
2 ℵ0 = ℵ1
fosse vera, ovvero se la Card(R) fosse o meno uguale a ℵ1.
Cantor assunse la seguente:
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