Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

che i punti ad esso appartenenti possano essere rappresentati nella forma
M1, M2, ..., Mν, ...;
possiamo prendere come esempio l’insieme di tutti i punti del nostro spazio
tridimensionale le cui coordinate in un sistema ortogonale x, y, z hanno tutte
e tre un valore numerico algebrico. Se supponiamo di sottrarre al dominio A
l’insieme di punti numerabile (M) e indichiamo con a il dominio che rimane
vale una proposizione assai notevole, cioè che per n ≥ 2 il dominio a non
cessa di essere connesso in modo continuo, o, in altre parole, che due punti
qualsiasi N e N’ di a possono sempre essere collegati con una linea continua i
cui punti appartengono tutti ad a, cosicché su essa non c’è nemmeno un punto
dell’insieme (M).
Ci basterà verificare la validità di questo teorema per il caso di n = 2; la
dimostrazione si basa, essenzialmente, su una proposizione [...], cioè che, se è
data una qualsiasi successione conforme a una legge di grandezze reali
ω1, ω2, ..., ων, ...
(fra le quali possono anche essercene di uguali - il che, chiaramente, non fa
nessuna differenza sostanziale), in ogni intervallo (α...β) assegnato a piacere,
per quanto piccolo, si possono trovare grandezze reali η che non occorrono in
tale successione.
Sia dunque A una qualsiasi porzione continua interconnessa del piano infinito,
prendiamo in A l’insieme di punti numerabile e ovunque denso (M) e siano N,
N ′ due punti qualsiasi di A non appartenenti a (M) che inizialmente collegheremo,
senza preoccuparci dei punti di (M), con una linea continua l che corre
all’interno di A; si deve dimostrare che l può essere sostituita da un’altra linea
continua l ′ che collega anch’essa i punti N e N ′ e corre pure all’interno di A
ma non contiene nemmeno un punto dell’insieme (M).
Su l giacciono in generale infiniti punti dell’insieme (M) che formano in ogni
caso una parte costitutiva di (M) e quindi ancora un insieme numerabile.
Di conseguenza, per la proposizione aritmetica appena citata, in ogni intervallo
sulla linea l, per quanto piccolo, esisteranno dei punti non appartenenti a
(M). Consideriamo un numero finito di questi punti su l, diciamo N1, N2, ...Nk,
tali che i segmenti di retta NN1, N1N2, ..., NkN ′ giacciano anch’essi per intero
all’interno di A. Ora, tali segmenti possono sempre essere sostituiti da archi di
cerchio con gli stessi estremi e che corrono pure all’interno di A, non contengono
alcun punto dell’insieme (M) e uniti formano una linea continua l ′ con
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