Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

• un minorante per A ⊆ X è un elemento x tale che x ≤ a per ogni a ∈ A;
• l’estremo superiore di A ⊆ X è il minimo dei maggioranti e si indica
con SupX(A);
• l’estremo inferiore di A ⊆ X è il massimo dei minoranti e si indica con
InfX(A).
Definizione 96. Il campo ordinato K è completo se per ogni sottoinsieme
non vuoto X di K, se X ha un maggiorante, allora X ha estremo superiore
(o, equivalentemente, per ogni sottoinsieme non vuoto X di K, se X ha un
minorante, allora X ha estremo inferiore).
Teorema 97. In ogni campo ordinato K sono equivalenti le seguenti asserzioni:
a) K è Dedekind-continuo;
b) K è completo.
Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia X ⊆ K, X non vuoto, e supponiamo che l’insieme
Y dei maggioranti di X non sia vuoto. Quindi x ≤ y per ogni x ∈ X e
y ∈ Y . K è Dedekind-continuo e quindi esiste uno z ∈ K tale che x ≤ z ≤ y.
Osserviamo che z ∈ Y perché x ≤ z, ma z ≤ y quindi z è il minimo dei
maggioranti, cioè è l’estremo superiore.
(b) ⇒ (a). Supponiamo che X, Y siano sottoinsiemi di K non vuoti tali
che x ≤ y per ogni x ∈ X e y ∈ Y . Ogni elemento di Y è un maggiorante di
X, quindi per (b) possiamo considerare l’estremo superiore di X: z ∈ Y , cioè
x ≤ z per ogni x ∈ X. Però poiché z è il minimo dei maggioranti si ha anche
che z ≤ y per ogni y ∈ Y . Quindi x ≤ z ≤ y.
Sia K un campo e X ⊆ K non vuoto, vediamo le proprietà caratteristiche
di SupK(X) e InfK(X):
• β ∈ K è SupK(X) se e solo se
i) ∀x ∈ X x ≤ β, (β è maggiorante)
ii) ∀β ′
∈ K con β ′
< β, ∃x ∈ X : β ′
< x, (β è il migliore)
• α ∈ K è InfK(X) se e solo se
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