Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Se si accetta questa definizione, la relazione che associa ad una classe il suo
numero cardinale esiste ed è unica: essa non è nient’altro che la relazione di
appartenenza di una classe alla classe di tutte le classi ad essa cardinalmente
simili.
Russell ammette che, di primo acchito, la concezione di numero come classe
di classi appare paradossale:
[...] quando giungiamo all’autentica definizione dei numeri non possiamo
evitare ciò che, a prima vista, non può non apparire come un paradosso,
anche se questa impressione sarà presto dissipata. Noi pensiamo
spontaneamente che la classe delle coppie (per esempio) sia qualcosa di
differente dal numero 2. Ma non vi è dubbio riguardo alla classe delle
coppie: è indubitabile e non è difficile da definire, mentre il numero 2, in
qualsiasi altro senso, è una entità metafisica circa la quale non possiamo
mai sentirci sicuri che esista e che l’abbiamo identificata. E’ pertanto più
prudente accontentarci della classe delle coppie, di cui siamo sicuri, che
andare a caccia di un problematico numero 2, che è destinato a rimanere
inafferrabile.
Il principi applicato da Russell nella definizione di dei numeri cardinale è
di grande importanza in tutta la sua filosofia: si tratta di quello che Russell
chiama principio di astrazione. Esso consiste - nella sua generalità - nell’identificare
una classe di equivalenza rispetto ad una certa relazione d’equivalenza,
che non sia vuota, con quella entità che di solito si chiamerebbe la proprietà
che gli oggetti appartenenti a quella classe hanno in comune.
L’applicabilità di questo principio è molto vasta. Noi siamo intuitivamente
portati - dice Russell - a ritenere che, quando tra alcune entità vale una
certa relazione d’equivalenza, queste entità abbiano una proprietà in comune.
Questo - afferma Russell - può essere vero ma anche falso; oppure - cosa più
probabile - può essere vero in alcuni casi e falso in altri. Allora, in luogo di
questa supposta qualità in comune, possiamo prendere semplicemente l’appartenenza
alla classe di tutte le entità che sono nella relazione di equivalenza
data con una certa entità.
Il principio di astrazione evita dunque, in un certo numero di casi, l’introduzione
di entità metafisiche puramente ipotetiche:
Quando un gruppo di oggetti presenta quel genere di similitudine che noi
tendiamo ad attribuire al possesso di una qualità comune, il principio in
questione mostra che l’appartenenza al gruppo servirà a tutti gli scopi
della supposta qualità comune e quindi, a meno che sia effettivamente
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