Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

4. x ∈ N → s(x) �= 0: “Zero non è il successore di alcun numero naturale”
5. (0 ∈ A∧∀y(y ∈ A → s(y) ∈ A)) → (N ⊂ A): “Se A è un insieme qualsiasi
che contiene lo zero e per ogni suo elemento contiene il successore di
quell’elemento, allora A contiene tutti i numeri naturali”
Analizziamo brevemente il significato di questi postulati. Il primo e il secondo,
presi insieme, ci dicono che 0 e il suo successore, e il successore del
successore, e così via, sono numeri naturali. Il primo e il quarto presi insieme
ci dicono che 0 è il primo numero della serie dei naturali. Il terzo ed il quarto
postulato escludono che la serie dei numeri naturali sia una serie, che in qualche
modo si chiude su sé stessa. Così questi due postulati assicurano che il
numero dei numeri naturali è infinito.
Il quinto postulato è della massima importanza: esso ci dice che possiamo
fare uso, nelle dimostrazioni che riguardano i numeri naturali, del principio
d’induzione.
Come rileva lo stesso Peano, i cinque assiomi sono indipendenti l’uno dall’altro;
vale a dire che nessuno può essere dedotto a partire dagli altri quattro.
Peano lo dimostra trovando quelli che oggi si chiamerebbero dei modelli, cioè
delle interpretazioni dei tre termini primitivi “N”,“0” e “s”, tali che in ciascuno
di essi un assioma divenga falso, mentre gli altri quattro restano vero.
Infatti, se un assioma p fosse deducibile dagli altri quattro, sarebbe una impossibilità
logica che la sua negazione possa essere coerente con essi, e quindi
non esisterebbe alcun modello in cui la negazione di p e gli altri assiomi siano
simultaneamente veri. Mostriamo ora, seguendo gli esempi forniti dallo stesso
Peano, l’indipendenza degli assiomi.
1. Sia N l’insieme dei numeri interi positivi: in questa interpretazione sono
veri tutti gli assiomi tranne il primo. Dunque il primo assioma è
indipendente dagli altri.
2. Sia N l’insieme dei primi n numeri. Allora il successore di n non sarebbe
in N, e quindi il secondo postulato sarebbe falso in questa interpretazione.
Dunque il secondo postulato non può dipendere dagli
altri.
3. Sia N una qualsiasi successione che comincia con un antiperiodo per poi
diventare periodica, come per esempio la successione 0, 1, 2, 3, 2, 3, 2,
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