Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

euclidee. Egli le aveva già costruite, ma evidentemente occorreva ancora qualcosa
di più, oltre che un altro po’ di tempo, per poter accettare una così grande
scoperta.
15.3 Le geometrie non-euclidee
Il primo a cominciare a credere che il V postulato fosse indipendente fu
Gauss (1777-1855). Sembra che già da quindicenne avesse tentato di dimostrare
il V postulato, convincendosi ben presto di poter costruire una geometria
coerente con la negazione di tale postulato. Successivamente però abbandonò
questa strada, probabilmente influenzato dalla convinzione secondo cui il V
postulato doveva essere necessariamente vero, la quale regnava sovrana negli
ambienti matematici dell’epoca. In una lettera del 1799 da lui scritta ad un
altro matematico ad esempio scrisse: “[...]i miei lavori sono già molto avanzati;
ma la via nella quale sono entrato non conduce al fine che si cerca, [...],
ma conduce piuttosto a mettere in dubbio l’esattezza della geometria.[...]”.
Solamente molti anni dopo, a partire dal 1813, ricominciò ad affiorare in lui il
desiderio di ricerca di una geometria non-euclidea.
Tutto ciò che conosciamo di questi studi e riflessioni deriva dalla corrispondenza
che egli intratteneva con compagni di studi e matematici illustri: Gauss
infatti non volle mai pubblicare nulla a riguardo, preoccupato in parte di ciò
che avrebbero suscitato le sue teorie in un mondo non ancora pronto.
Indicativo di questo è ad esempio il fatto che egli intrattene una corrispondenza
con Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859), in cui è lo stesso Schweikart,
giurista e non matematico, nel 1818, a sostenere che “esistono due tipi
di geometria - una geometria in senso ristretto, la euclidea; ed una seconda
geometria astrale”, in cui i triangoli “hanno la proprietà che la somma dei loro
tre angoli non è uguale a due angoli retti” ed “è tanto più piccola quanto più
è grande l’area del triangolo”.
Schweikart aveva approfondito ulteriormente gli studi che riguardavamo la geometria
astrale, arrivando ad affermare che: “l’altezza di un triangolo rettangolo
isoscele, pur crescendo al crescere dei lati, tuttavia non può superare un certo
segmento”, che egli aveva chiamato costante, e che tale proprietà valeva anche
nella geometria euclidea, dove tale costante era infinitamente grande.
Gauss, che all’epoca aveva già maturato completamente le sue idee riguardo
alla geometria anti-euclidea, come lui la chiamava, era rimasto colpito dalla
conversazione e aveva esortato il giurista a proseguire con i suoi studi. Così
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