Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Siano (an) e (bn) due rappresentanti di [an]≡ con an ≥ 0 ∀ n > ¯n e bn ≤ 0
∀ n > ¯n. Allora ∀ n > max{¯n, ¯n} si ha 0 ≤ an ≤ an − bn. Ma (an) e (bn) sono
equivalenti quindi limn→∞(an − bn) = 0 e per il teorema del confronto segue
che limn→∞ an = 0, cioè [an]≡ = [0]≡. Si verifica inoltre che si tratta di un
ordine totale.
Quindi con le operazioni di somma e prodotto e con la relazione d’ordine,
(C(Q)/Z(Q)) è un campo ordinato e Cantor lo identifica con i Reali:
(C(Q)/Z(Q)) = R
Essendo Q archimedeo, segue facilmente che anche R è archimedeo. Verifichiamo
ora che si tratta di un campo Cauchy-completo.
Lemma 93. Ogni successione di Cauchy di razionali converge in R e il limite
è la classe di equivalenza della successione stessa.
Dimostrazione. Definiamo l’applicazione η : Q → R che ad ogni razionale q
associa la classe di equivalenza di q, η(q) = [q]≡.
Dobbiamo dimostrare che data (an) ∈ C(Q), (η(an)) converge in R e LR(η(an)) =
[an]≡.
Prendiamo ε > 0 ∈ R e δ > 0 ∈ Q tali che η(δ) < ε in R. Poiché (an) è di
Cauchy su Q,∃ nδ tale che ∀n, m > nδ si ha
|am − an| < δ
2
−δ + |am − an| < δ
− δ
2
δ − |am − an| > δ
2
quindi ∀m0 ≥ nδ la successione (bn) = (δ − |am0 − an|) è positiva, allora
Da
[bn]≡ = [δ − |am0 − an|]≡ > 0
[δ − |am0 − an|]≡ = [δ]≡ − [|am0 − an|]≡
= η(δ) − |[am0 ]≡ − [an]≡|
= η(δ) − |η(am0 ) − [an]≡|
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