Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

(x1, y1), (x2, y2), ... (xn−1, yn−1), soddisfacenti l’equazione x 2 + y 2 = 1. Immaginiamo
le coordinate dei punti come la parte reale e la parte immaginaria
di un numero complesso e rappresentiamo i punti nel piano di Gauss:
z = x + iy
A ciascun numero z è associato il modulo, la distanza assoluta del punto
dall’origine:
�
ρ = x2 + y2 e un argomento, l’angolo che la congiungente del punto con l’origine forma con
l’asse x::
θ = arctan y
x
Sicché si ha
z = ρ(cos θ + i sin θ)
La moltiplicazione di due numeri complessi z = x + iy, z ′ = x ′ + iy ′ si può
effettuare algebricamente secondo le usuali regole di calcolo ponendo:
Z = zz ′ = (xx ′ − yy ′ ) + i(xy ′ − x ′ y)
Oppure geometricamente determinando il punto che ha come coordiante polari:
P = ρρ ′ =
�
x2 + y2 �
x ′2 + y ′2 , Θ = θ + θ ′ = arctan y
x
y′
+ arctan ,
x ′
cioè facendo il prodotto dei moduli e la somma degli argomenti. Applicando
questa regola per formare le potenze di un generico punto incognito
zs = xs + iys = cos 2πr
n
+ isin2πr
n
ogni sua potenza avrà modulo uguale a 1 e argomento 2πrh , per h = 0, .., n−1.
n
In particolare per h = n, il punto zn s coinciderà con A = (1, 0), quindi zn s = 1.
Viceversa: si abbia un punto z diverso da A, tale che
z n = (x + iy) n = 1,
il modulo ρ di questo punto deve quindi soddisfare ρ n = 1, ma essendo un
numero reale ρ = 1. Inoltre z deve avere un argomento θ che sommato n volte
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