Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

= qa + r e 0 ≤ r < a.
Euclide sviluppò una teoria di quelli che chiamò “i numeri più piccoli tra quelli
che hanno lo stesso rapporto tra loro”. Nella seguente proposizione è coinvolto
il concetto di “minimo”:
PROPOSIZIONE VII.20: I numeri più piccoli tra quelli che hanno lo stesso
rapporto tra loro misurano quelli che hanno lo stesso rapporto lo stesso numero
di volte, il più grande (misura) il più grande e il più piccolo il più piccolo.
Chiameremo minimi “gli numeri più piccoli tra quelli che hanno lo stesso rapporto”.
Euclide dà per nota l’ esistenza e l’ unicità dei minimi in una classe di
coppie di numeri con lo stesso rapporto, anche se non parla esplicitamente di
nessuna proprietà di ordine.
Nelle proposizioni successive afferma che numeri primi tra loro sono minimi
e i minimi sono primi tra loro. Solo alla fine della parte dedicata al massimo
comune divisore, nella proposizione VII.33, viene spiegato come trovare i minimi,
non solo per coppie di numeri, ma per una qualsiasi quantità di numeri.
Ciò fa supporre che tale proposizione sia un’ aggiunta successiva alla parte
originale.
Nelle proposizioni VII.23-28 indaga come il concetto di essere coprimi per due
numeri a e b è collegato alla formazione di somme e prodotti. In tal modo ci
mostra in un’ esposizione sistematica che occorre investigare come un nuovo
concetto è collegato ai concetti e alle operazioni precedenti.
Nell’ ultima parte di questa sezione, le proposizioni VII.29-32 riguardano la
scomposizione di un numero in fattori primi; vengono provati due lemmi, la
cui combinazione è conosciuta oggi come il teorema fondamentale dell’ aritmetica:
ogni numero > 1 ammette una fattorizzazione unica in numeri primi.
Infine, nell’ ultima sezione del libro VII, viene costruito il minimo comune
multiplo di due o più numeri, e vengono investigate le sue proprietà.
Libro VIII
Nella prima parte del libro VIII vengono trattati i numeri in proporzione
continua, cioè gruppi di numeri a,b,c,d che stanno tra loro nei rapporti:
a : b = b : c = c : d,
La proposizione VIII.5 si discosta dal tema delle proporzioni continue:
PROPOSIZIONE VIII.5: I numeri piani hanno tra loro il rapporto composto
dai rapporti dei loro lati.
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