Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

aritmetiche ripetute un numero finito di volte.
Data un’equazione algebrica, e considerato un numero reale o complesso z, si
dice campo ampliato del campo di razionalità dell’equazione il campo generato
dai coefficienti e da z. Riportiamo le parole di Galois:
“Quando converremo di riguardare come note certe quantità, diremo
che le aggiungiamo all’equazione che si tratta di risolvere. [...]
Ciò posto, chiameremo razionale ogni quantità che si esprimerà
in funzione dei coefficienti dell’equazione e di un certo numero di
quantità aggiunte all’equazione e arbitrariamente convenute.”
Galois prosegue il suo ragionamento introducendo il concetto di gruppo di
un’equazione (quello che sarà chiamato Gruppo di Galois). Vediamo di che
cosa si tratta: anzitutto, egli considera per l’equazione f(x) = 0 assegnata, di
radici x1, x2, ..., xn, un’espressione razionale V (x1, x2, ..., xn) che assume valori
tutti diversi fra loro per le n! sostituzioni sulle radici; indicate con s1, ..., sn!
queste sostituzioni, e con V1 = V (s1), ..., Vn! = V (sn!) i corrispondenti valori
di V , l’equazione di grado n!
ϕ(y) = (y − V1)(y − V2) · · · (y − Vn!) = 0;
detta risolvente di Galois ha i coefficienti esprimibili tramite i coefficienti
della f(x) = 0 [per le formule di Viéte] e una qualsiasi radice di f(x) = 0 è
esprimibile razionalmente tramite una qualsiasi radice di ϕ(y) = 0.
Consideriamo ora uno qualunque dei fattori irriducibili ϑ(y) di ϕ(y): si definisce
allora come gruppo di Galois dell’equazione iniziale f(x) = 0 il gruppo
delle sostituzioni che mandano una qualunque radice di ϑ(y) = 0 in un’altra.
Il gruppo di Galois G dipende dal campo rispetto a cui si studia la riducibilità
della risolvente, che è inizialmente il campo di razionalità R dell’equazione
di partenza; aggiungendo ad R un’espressione razionale F (x1, x2, ..., xn) delle
radici dell’equazione, G si abbassa al suo sottogruppo G1, formato da tutte e
sole le sostituzioni di G che lasciano la F numericamente invariata.
Risolvere l’equazione di partenza equivale allora ad ampliare gradualmente il
suo campo di razionalità in modo che il gruppo di Galois si riduca alla sola
sostituzione identica. In altri termini, risolvere un’equazione significa costruire
una serie di composizione
G = G0, G1, ..., Gi−1, Gi, ..., Gn = e,
ovvero una catena di sottogruppi di G, dove G è gruppo di Galois dell’equazione
f(x) = 0, Gi è il sottogruppo di G relativo all’ampliamento i-esimo, ed
352