Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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Indice 1 “Prematematica” e Matematica antica 1 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 L’aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Contare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Contare per gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.3 I sistemi di numerazione simbolici . . . . . . . . . . . . 3 1.2.4 Le operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.5 L’abaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.6 I sistemi di numerazione posizionale . . . . . . . . . . . 7 1.2.7 Lo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 La geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Filogenesi e ontogenesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Simmetria: i monumenti di Stonehenge . . . . . . . . . 11 1.3.3 Similitudine: i disegni di Nazca . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Il pi greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Cosa manca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 La linea di confine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Le antiche civiltà dell’America e dell’Asia 18 2.1 Le civiltà precolombiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 I Maya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Gli Aztechi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3 Gli Inca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 La matematica in Cina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Il metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Testimonianze e testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Contatti e scambi con l’Europa . . . . . . . . . . . . . . 32 ii
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l’acquisto. Se ogni persona desse
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di 24000 e, per completare la figur
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Continuando con questa linea di rag
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di sistemi lineari di primo grado d
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Nel Jiuzhang Suanshu troviamo un in
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materiali che, manipolati in un mod
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pianificato e caratterizzato da un
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Dal momento che non erano richiesti
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“Da una posizione all’altra, ci
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Il Siddhanta Shiromani è un tratta
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• notazione posizionale • simbo
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destra. Lungo la base e il lato des
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Un ambito particolare in cui trovia
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una dal fondo, in modo che valga: 2
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Bibliografia [1] Boyer C. B., Stori
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L’inizio della storia greca risal
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Grazie alle civiltà cretese e feni
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arconte unico con il compito di rif
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3.2.4 Le guerre persiane e del Pelo
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• Coerentemente con quanto detto
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appunto imposta dall’autorità co
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3. Problemi non risolubili con riga
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era il contenuto del Tesoro. Il sec
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corpo, per esempio delle mani. Tutt
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Sotto l’influenza degli Egiziani,
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avendo previsto in base a calcoli a
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valutazione definitiva sul dato int
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Figura 3.5: Calcolo della distanza
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zazione. Cioè il segmento, il quad
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Figura 3.8: prova di Euclide allora
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allo stesso tempo parallele alla re
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• Il celebre teorema detto di Pit
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delle sette religiose d’Egitto e
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Figura 3.11: pentagramma Le comunit
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12 poiché 9-6=12-9. In altre parol
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Figura 3.12: La natura limitata dei
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Mentre per noi è naturale associar
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Figura 3.16: Costruzione di un nume
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28 e 496. I Pitagorici cercarono an
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in ciò Pitagora fu influenzato dal
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È certo che la teoria dell’appli
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quadrato avente come lati le diagon
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Figura 3.24: Dimostrazione di sir G
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Dimostrazione. La dimostrazione fa
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accogliere la nuova realtà ed aver
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Capitolo 4 Zenone, Platone ed Eudos
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frase i pitagorici intendevano dire
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Il principale discepolo di Parmenid
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percorre quel metro, la tartaruga p
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• Paradosso della dicotomia Per q
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effettive, non possono essere di fa
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4.3 Platone Platone, nato ad Atene
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a quel mondo, l’anima e le idee h
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Sembra che Platone sia venuto a con
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come centro di simmetria, così com
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supposto che, dati comunque due seg
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un altro problema, quello del confr
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come abbiamo dimostrato, dobbiamo a
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possibilità da parte della materia
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Capitolo 5 Euclide 5.1 Contesto sto
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l’istituzione ad Alessandria, cen
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Figura 5.1: Particolare della scuol
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nessun’altra opera contemporanea
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arabi e diventarono i fondamenti de
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5.6.2 Libro I. Termini. Non c’è
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angolo retto è un tipo particolare
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una linea retta è di estensione in
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Proposizioni. Il primo libro degli
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Si nota che Euclide se vuole mostra
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Nella prima proposizione, per esemp
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Libro VII Il libro VII inizia con d
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= qa + r e 0 ≤ r < a. Euclide svi
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abbiamo notato, al teorema fondamen
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Cioè un segmento b commensurabile
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piramide, prisma, sfera, cono, cili
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La dimostrazione euclidea per assur
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Nella definizione VI.3 un segmento
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possiamo avere tre intersezioni in
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Capitolo 6 Archimede di Alessandro
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ibliotecario della celeberrima Bibl
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co, per altri parente di Archimede)
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6.3.3 Sulla misurazione del cerchio
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di una sfera sono nella stessa rela
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mento di iperbole o ellisse, ma det
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tipo additivo, come quello romano)
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Archimede rimase in ogni caso molto
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e il corrispettivo stomachion Per f
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mai esplicitamente. Ora per calcola
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Con le proprietà della parabola Ar
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S(ABC) = 1 1 4 ∆ (ACZ) = · 4∆
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Archimede, inoltre, era anche esper
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6.4.3 Macchinari bellici Archimede,
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2. Il 14 marzo si festeggia in tutt
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Bibliografia [1] Carl B. Boyer, Sto
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ormai assunto un carattere ideale m
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Vediamo ora come è possibile costr
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isolversi con la riga e il compasso
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deve dare un multiplo intero di 2π
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7.2.1 La quadratura di un cerchio I
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In realtà Euclide utilizza esattam
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Per procedere con la dimostrazione
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può essere utilizzata per costruir
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e l’angolo ˆ ABC è trisecato da
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7.2.3 La duplicazione del cubo Il p
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Glauco. La tomba aveva forma cubica
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Si disegni poi metà cilindro retto
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Tuttavia questa costruzione spieghe
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Capitolo 8 La Matematica in Arabia
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islamico (si parla di di circa 500.
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scoperta è stata attribuita a lui
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tutta tradizione precedente: si app
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8.2.4 Conclusioni. Pure se è stori
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così, per esempio, R. 4 120. volev
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Figura 8.3: Una pagina dell’al-ja
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Bibliografia [Boy] Carl B. Boyer, S
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La presente relazione è essenzialm
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Figura 9.1: Niccolò Fontana, detto
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ecalcitrante, ma poi sedotto dalle
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attività dei matematici di profess
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completa entrando a 8 anni nel coll
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Il metodo cartesiano Il metodo si f
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numeri e le relazioni geometriche f
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Costruzioni simili venivano fatte p
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ette condotte da C alle quattro ret
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Il fatto stesso Apollonio, il più
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e ricaviamo dalle due equazioni a e
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dei punti che hanno entrambe le coo
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intervengono nell’uso delle coord
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Un altro risultato di Torricelli fu
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temente da Descartes. L’ enunciat
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9.2.5 Isaac Barrow Figura 9.6: Isaa
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Figura 9.8: Sir Isaac Newton (1642
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divideva ambo i membri per l’incr
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Le serie infinite 16 Ma Newton sape
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da quantità irrazionali). Qui Leib
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due problemi classici del calcolo,
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fratelli svizzeri Bernoulli 19 . Pr
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culmina con l’esecuzione del re L
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Figura 9.11: il problema della brac
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1783), è stato un matematico e fis
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sin(x) = x − x3 x5 + − . . . 3!
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spazio-temporale definito, relativa
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Bibliografia [1] Boyer C.B., Storia
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essere pubblicati in riviste specia
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delle equazioni differenziali, che
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Figura 10.3: Riemann Grazie al suo
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Dedekind parte dunque dalla definiz
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Figura 10.5: Laplace ∇ 2 V = ∂2
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tempo che, influenzato dalla leibni
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Figura 10.8: Gauss Nonostante nella
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Capitolo 11 Origini dell’algebra
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ognuna. I teoremi dimostrati per un
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7. a > b ⇒ a · c > b · c, a c >
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e f2 = 0; per n pari, f1 = [ n 2
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plo di n!. Attualmente questo risul
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Come era capitato alcuni anni prima
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è normale in Gi−1; e è l’iden
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Egli procedette a costruire un’al
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si riduce a risolvere esattamente k
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sità”, dove d-ism stava ad indic
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Vediamo un esempio: se a è un nume
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prodotto con cui C è un campo. Tal
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Si noti che dalla bilinearità e da
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Dimostrare che ne siano strettament
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priva di valore logico e fu peraltr
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dove v è una classe “indefinita
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“Per corpo intendiamo ogni sistem
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11.4.2 Kronecker Nell’opera Grund
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stesso Kronecker, di Cayley, Von Dy
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• geometrie euclidee: studio dell
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Hamilton allora cercò di trovare e
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cui deteminare e rappresentare i mo
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dove dal primo momento A è stato g
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I simboli della serie appena scritt
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Ogni step c può essere considerato
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è quello simile alla analogia cont
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dalle due precedenti condizioni si
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Capitolo 12 Cantor e la teoria degl
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Vally Guttmann, amica di sua sorell
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12.3 Serie trigonometriche, numeri
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precedenza, nel 1869 Cantor venne n
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La funzione di Riemann, F (x), era
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singolari x ′ v altrimenti in (a,
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Dedekind, che intraprese le proprie
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particolare successione infinita di
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Poichè ogni numero irrazionale a p
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12.3.5 Gli insiemi derivati Come af
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esse hanno gli stessi coefficienti
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grandi. Solo raramente, invece, l
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una proprietà della classe di tutt
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dove n, a0, a1, . . . , an sono num
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e sia X := � i≥0 Xi. Posto Xi :
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2) Il numero degli intervalli è in
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dimostra che la potenza di R n è u
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A me sembra di poter rispondere aff
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cui Cantor lo pubblicò nel suo art
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siano associate in modo univoco e c
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minore precedano quelli con N più
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come esterni ad essa. Le lunghezze
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Dimostrazione alternativa di (D) Pe
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12.5 L’insieme delle parti Tratti
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12.6 Über unendliche lineare Punkt
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si conservano in tutti i membri di
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all’esposizione: infatti, conside
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Se abbiamo a che fare con una molte
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appartenga loro; il teorema non ha
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le proprietà indicate sopra. Baste
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e se Q è un insieme contenuto in P
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Se P è un i. di p. di n a specie,
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i valori delle coordinate corrispon
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Ma i valori cν e dν appartengono,
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Da questo punto in poi, Cantor dedi
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• ‘in Deo extramundano aeterno
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transfinito ordinato dalla massima
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Il concetto della dimostrazione di
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e a partire da P (ω) gli ordinali
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Secondo principio di generazione: s
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Teorema 65. La seconda classe numer
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numerica (II) e per quanto appena d
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« Se concepisco l’infinito al mo
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il finito è addirittura tale da mo
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1. i numeri α, che hanno un fattor
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Se si pensa ancora c0, c1, c2, ....
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Ipotesi del continuo: Non esiste un
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[8] FOURIER, J., Theorie analytique
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Fino a tutto il Settecento questi r
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Proposizione 70. In ogni anello ord
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Si definiscono le operazione nel se
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ordinario di matematica al Politecn
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• Transitività: ∀x, y, z, x
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Continuità della retta e costruzio
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2 contenuto in B2 è maggiore di b
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contiene tutti i razionali di A1 e
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di volte in entrambi; tale segmento
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Le successioni di Cauchy sono quell
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Definiamo ora le seguenti operazion
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segue quindi η(δ) − |η(am0 )
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i) ∀x ∈ X α ≤ x, (α è mino
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¯c < c, allora ¯c > ai ∀ i ∈
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• conserva l’ordine: Se a < b a
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) ϕ conserva l’ordine: se S ⊆
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Capitolo 14 I paradossi e la crisi
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Successivi di un paio di secoli ma
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Consideriamo ora il numero ¯r = 0.
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vano bisogno di essere legittimate.
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Una di queste è il paradosso di Ca
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il sorgere di paradossi poteva deri
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Capitolo 15 Le geometrie non euclid
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del V postulato, cercando così di
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da cui seguì il: Teorema 108. Nell
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non era compatibile con l’insieme
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Schweikart coinvolse anche il nipot
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teoria completa delle parallele, pu
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Lobačevskij aveva quindi intuito c
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del Saggio di Beltrami, era lo stre
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15.5.1 Metriche e assoluto Piano el
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15.5.2 Angolo tra due rette e paral
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ette incidenti rette parallele 555
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Capitolo 16 Hilbert e il formalismo
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dell’istruzione che chiedeva come
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può considerare oggetti vicini all
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pratica negli scritti di metamatema
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sostenere che l’analisi non era a
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che ci siamo astratti dal contenuto
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pio di aggiunta di un elemento idea
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Bibliografia [1] Constance Reid. Hi
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ma adesso era stato mostrato che un
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dimostrazione soprattutto come meto
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3. dimostrò che N contiene sottoin
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lui, non erano in grado di spiegare
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decisivo in questa direzione lo ha
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Caro Alfred, non disprezzare queste
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elementi psicologici, nasce così l
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Tutti questi difetti, secondo Frege
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L’uso dei quantificatori ha perme
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Figura 17.2: Il simbolismo fregeian
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anche fra i designati? Ogni segno
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quanto più la matematica deve aste
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In realtà la definizione di numero
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Se si accetta questa definizione, l
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• poi usa la definizione per astr
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un elemento di w. Supponiamo allora
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Va ∀x(φx ≡ ψx) −→ �z(φ
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Giuseppe Peano (Spinetta di Cuneo,
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Non si tratta però di un tentativo
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4. x ∈ N → s(x) �= 0: “Zero
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Figura 17.6: Bertrand Russell ..a u
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e utilizza solo concetti logici o d
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• Antinomia di Epimenide (del men
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In questo modo si vede che il Parad
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Assioma moltiplicativo Ogni prodott
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Russell e Whitehead rispondono a ta
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prima del 1931, infatti, nella pref
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1. la trattazione indiscriminata de
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un insieme più grande comunque def
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• Teorema dell’ideale primo per
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Bibliografia [1] Stefano Donati, I
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intuizionistica che via via furono
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no. Inizialmente la coscienza è in
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identici (assioma di estensione) ma
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vastanti per la matematica classica
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• possiamo asserire P ∧ Q se e
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quindi senso perché esprimeva cost
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Capitolo 19 Kurt Gödel 19.1 La vit
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Oswald Veblen, James Alexander, Mar
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Figura 19.1: Prova ontologica Nel 1
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19.2 I teoremi di incompletezza Per
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possono essere ugualmente utilizzat
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19.3.1 La numerazione di Gödel Per
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i numeri corrispondenti ai simboli,
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In pratica Sost(m, n, p) rappresent
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Supponiamo il sistema PA sia ω-coe
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dimostrabile equivale ad affermare
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completo, così Gödel sembra indic
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(γ) è indimostrabile e, visto che
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degli insiemi e l’analisi, preser
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[10] Victor Vinnikov, “We shall k
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Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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