Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

dei numeri naturali. Tutti gli altri numeri (negativi, razionali,irrazionali, complessi)
si dovevano definire mediante i naturali e le loro proprietà andavano
ricondotte all’aritmetica elementare. Ora i numeri razionali erano già stati
ben definiti a partire dai naturali ed erano ben utilizzabili. Per estendere
tale costruzione e definire i numeri reali, si poteva dunque partire dai razionali.
Vediamo ora nel dettaglio la costruzione fatta da Cantor. Cantor definì A
il dominio dei numeri razionali compreso lo zero. Si noti che la teoria parte
dai numeri razionali, intesi come dati.
Fornisce la seguente definizione
Definizione 27 (Sucessione fondamentale). Sia a1, a2, ..., an, ... una successione
di numeri razionali. Tale successione è detta “successione fondamentale”
se esiste un intero N tale che per ogni razionale positivo ε si ha |an+m−an| < ε
per ogni m intero positivo e per ogni intero n ≥ N
Data tale definizione, Cantor scrive: “Esprimo tale proprietà della successione
a1, a2, ..., an, ... con queste parole “Tale successione ha un limite b
determinato”. Per il momento queste parole non hanno altro senso se non
quello di esprimere questa proprietà della successione: ad essa associamo un
apposito segno b. Date successioni distinte di questo tipo, si dovranno introdurre
segni b, b’, b”,... distinti”.
Egli afferma cioè che, se la successione {an} soddisfa a questa condizione allora
essa ha un limite determinato b. Egli sottolinea come a questo punto del
lavoro le dette parole servono esclusivamente ad enunciare una proprietà delle
sucessioni fondamentali imposta loro, ovvero a far capire che ad ogni siffatta
successione {an} è associato uno speciale simbolo [Zeichen] b. L’insieme di tali
b costituisce il dominio B.
Cantor procede allora fornendo le seguenti definizioni.
Definizione 28 (Relazioni d’ordine). Se {an} è associata con b, {a ′ n} è associata
con b ′ , allora se per ogni ε > 0 esiste un intero N tale che per ogni
intero n > N si ha
(i) an − a ′ m < ε si può dire che b è uguale a b ′ ;
(ii) an − a ′ m < −ε si può dire che b è minore di b ′ ;
(iii) an − a ′ m > ε si può dire che b è maggiore di b ′ .
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