Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

3... qui 0 e 3 hanno lo stesso successore, per cui il terzo postulato è falso:
gli altri postulati sono tuttavia veri in questa interpretazione: dunque il
terzo assioma è indipendente dagli altri.
4. Sia N la successione delle ore solari dalle 24 in poi, cioè la successione
24,1,2,...,23,24,1..ecc.; il simbolo primitivo “0” venga interpretato nel 24.
In questa interpretazione tutti gli assiomi sono veri, tranne il quarto:
dunque il quarto assioma è indipendente dagli altri.
5. Sia N l’insieme dei numeri naturali. Il simbolo “s” venga interpretato
in “il successore del successore di”, cioè s(x) = x + 2. Allora il quinto
postulato diventa falso, perché non è affatto vero che un numero naturale
qualsiasi appartenga a un insieme qualsiasi di cui siamo membri
0 e tutti i numeri pari. Gli altri assiomi sono tuttavia veri in questa
interpretazione: dunque il quinto postulato è indipendente dagli altri.
L’obbiettivo di Russell è quello di dare una definizione puramente logica, e
non solo simbolica, delle tre nozioni fondamentali di Peano (0, s, N), tale che:
• rispecchi il modo in cui applichiamo i numeri al mondo che ci circonda
• faccia uso di concetti primitivi puramente logici
• renda possibile, sulla base di assiomi logici, dimostrare i postulati di
Peano
allora si avrà una teoria logicista che conserverà tutta la potenza degli
assiomi di Peano. Russell lo realizza definendo prima i numeri cardinali e
ordinali in generale poi isolando da essi i numeri finiti e mostrando che hanno
esattamente le proprietà attribuite a loro dagli assiomi di Peano.
17.4 Bertrand Russell
17.4.1 Vita, opere e pensiero
Bertrand Arthur William Russell nacque il 18 maggio 1872 nei pressi Trelleck,
in Galles. La sua era una famiglia aristocratica di politiche liberali. Come
egli stesso ricorda, nella sua autobiografia, il suo interesse per la matematica
e i suoi fondamenti fu molto precoce:
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