Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

i suoi principali artefici furono quattro matematici tedeschi: Karl Weierstrass
(1835-1897), Edward Heine (1821-1881), Georg Cantor (1845-1945), Julius
Wilhem Richard Dedekind (1831-1916). Prima di esporre brevemente un distillato
delle idee fondamentali che si trovano nelle loro opere, va ricordato che
altri uomini ricoprirono un ruolo di rilievo nell’aritmetizzazione (ma non c’è
dubbio che quelli da noi sopra menzionati furono i più importanti).
Lo scopo di ridurre l’analisi all’aritmetica sarebbe stato raggiunto se si
fosse riusciti nell’impresa di definire i numeri reali, cioè le grandezze continue,
in funzione dei numeri naturali, cioè delle quantità discrete. In pratica era
necessario riuscire a definire un numero irrazionale senza ricorrere al concetto
di “limite”, visto che per definire quest’ultimo fino a quel momento era stata
necessaria la nozione di “irrazionale”.
Cartesio aveva dato inizio alla trasformazione della geometria da scienza
sintetica in analitica; Newton e Leibniz con l’introduzione degli infinitesimi
l’avevano completamente ricondotta all’analisi; con l’aritmetizzazione l’analisi
si riduceva allo studio dei numeri razionali, i quali a loro volta non sono altro
che classi di equivalenza di coppie ordinate di naturali. Tutta la matematica
classica, in circa due secoli, era stata ridotta ai numeri naturali. Ma cosa si
sapeva allora dei numeri naturali? E dei razionali? Sono più i razionali o i
naturali? E gli irrazionali? Che cos’è una quantità infinita?
Le grandi idee furono, in questo caso, di Cantor. Elenchiamo qui di seguito
alcuni dei risultati che egli raggiunse:
1. definì la cardinalità di un insieme finito nel seguente modo:
• due insiemi hanno uguale cardinalità se gli elementi dell’uno possono
essere messi in corrispondenza biunivoca con quelli dell’altro;
• il primo ha cardinalità maggiore del secondo se può essere messo in
corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio del secondo;
2. definì la potenza di un insieme infinito come segue:
• due insiemi infiniti sono equipotenti se i loro elementi possono essere
messi in corrispondenza biunivoca;
• il primo ha una potenza maggiore del secondo se esiste un sottoinsieme
proprio del primo che è equipotente al secondo, ma non esiste
nessuna corrispondenza biunivoca tra gli elementi del primo e quelli
del secondo;
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