Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

grande dell’insieme infinito di quelli che sottraiamo al precedente
quando, partendo da uno dei suoi punti estremi a, ad una determinata
distanza ne togliamo un secondo b, poi, ad una distanza
minore, ne togliamo un terzo c, e procediamo senza fine in questo
modo, diminuendo secondo una legge le distanze in modo che il
loro infinito insieme, sommato, sia minore o uguale alla distanza
az. Infatti, poiché anche le infinite parti ab, bc,cd,. . . nelle quali è
divisa az sono tutte a loro volta linee finite, con ognuna si può procedere
come abbiamo appena supposta di fare con az; in ciascuna,
cioè è possibile individuare un insieme infinito di punti come in az,
e questi punti appartengono anche ad az. Perciò un insieme infinito
di punti cosiffatto deve essere contenuto infinite volte nell’intera
az”.
Abbiamo, quindi, ottenuto un infinito “contenuto infinite volte” in un altro
quindi, intuitivamente, molto più piccolo.
In questo esempio di Bolzano sono già presenti gli elementi che permisero a
Cantor di ipotizzare che l’infinito più “piccolo” fosse tale in quanto numerabile
e quello più “grande” lo fosse in quanto continuo.
Insomma, si era già parlato di infinito, ma nessuno prima del 1872 era stato
in grado di dire esattamente di cosa stesse parlando. In quest’anno, infatti,
Dedekind diede la sua definizione di insieme infinito:
“Un insieme si dice infinito quando è simile a una propria parte;
in caso contrario si dice infinito.”
Cantor, come Dedekind, riconobbe tale proprietà fondamentale degli insiemi
ma, in più, si rese conto che non tutti gli insiemi infiniti sono simili. È possibili,
invece, stabilire una gerarchia di insiemi a seconda della “Mächtigkeit”
o “potenza” dell’insieme.
12.4.2 Breve nota introduttiva
Prima di addentrarci nello studio fatto da Cantor sulla cardinalità degli
insiemi, descriviamo brevemente la sequenza cronologica con cui egli pubblicò
le sue scoperte relative a questo ambito.
L’inizio della teoria degli insiemi come branca della matematica viene spesso
fatto coincidere con la pubblicazione dell’articolo di Cantor del 1874 intitolato
“ Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (Su
418