Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Per quanto affermato nel teorema (H), vale inoltre
z ∼ u;
di conseguenza si ha w ∼ u e il teorema (J) è dimostrato.
E ora possiamo dimostrare il teorema (F) nel seguente modo:
introduciamo, tenendo presente il significato di f e x nell’enunciato di (F), le
variabili ausiliarie
f ′ , f ′′ , . . . , f (ν) , . . .
e
x ′′ , x IV , . . . , x (2ν) , . . . .
Sia f ′ una variabile che ammette tutti i valori dell’intervallo [0, ε1) a eccezione
dell’estremo ε1; per ν > 1 sia f (ν) una variabile che assume tutti i valori
dell’intervallo (εν−1, εν) a eccezione dei due valori estremi εν−1, εν; sia infine
x (2ν) una variabile che ammette, senza eccezioni, tutti i valori dell’intervallo
[ε2ν−1, ε2ν].
Se alle variabili f ′ , f ′′ , . . . , f ν , . . . aggiungiamo la costante numerica 1, tutte
queste grandezze, messe insieme, hanno lo stesso ambito di variazione di f;
vale cioè
f ≡ {f ′ , f ′′ , . . . , f (ν) , . . . , 1}.
Si può anche vedere che
Ma per il teorema (J)
x ≡ {f ′ , x ′′ , f ′′′ , x IV , . . . , f (2ν−1) , x 2ν , . . . , 1}.
f (2ν) ∼ x (2ν)
dunque, per il teorema (E),
inoltre f (2ν−1) ∼ f (2ν−1) , 1 ∼ 1;
f ∼ x,
come volevasi dimostrare.
Cantor, a questo punto, diede una nuova dimostrazione, più breve, del
teorema (D); il motivo per cui non si limitò a questa sola dimostrazione è che
le proposizioni ausiliarie (F), (G), (H) e (J) utilizzate nel procedimento più
complicato sono interessanti anche di per sé.
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