Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

• [(a, b)] ≥ [(c.d)] ↔ a + d ≥ c + d
Si dimostra che sono delle buone definizioni. Posto poi 0 = [(0, 0)] e
1 = [(1, 0)] si ha che (Z, +, ·, 0, 1, ≥) è un anello ordinato. Ora basta provare
l’ipotesi del teorema precedente. Sia [(m, n)] ∈ Z, se m > n esiste h tale che
m = n + h e perciò (m, n) ∼ (h, 0), ossia [(m, n)] = h · 1. Similmente, se
n < m, (m, n) ∼ (0, k) per qualche k, allora − [(m, n)] = k · 1
13.2.2 I razionali
I motivi storico-pedagogici che hanno portato alla costruzione dei razionali
(a partire dagli interi) sono analoghi a quelli che hanno spinto alla definizione
degli interi. Si tratta del desiderio di trovare sempre una soluzione per
l’equazione:
a · x = b con a, b ∈ Z (13.4)
Per risolvere tutte le equazioni di questo tipo è sufficiente risolvere quelle del
tipo a·y = 1. infatti: ay = 1 implica ayb = b e rinominando x = yb ritroviamo
l’equazione (13.4), e similmente vale il viceversa.
Costruire intuitivamente i razionali non è facile come per gli interi, in
quanto una volta “aggiunti” gli inversi degli interi (cioè le soluzioni di ax = 1),
le operazioni di somma e prodotto ci “obbligano” (se vogliamo conservare che le
usuali proprietà) a introdurre ulteriori elementi. Basta pensare che ad esempio
= m allora
1
3
+ 1
3
non può essere un intero, infatti, se 1
3
+ 1
3
1 + 1 = 3( 1 1
+ ) = 3m (13.5)
3 3
cioè 2 = 3m che è falso se m è un intero; né 1
3
m · 3( 1
3
1 1 + 3 = m , altrimenti
1 1
+ ) = · m · 3 (13.6)
3 m
che dà m2 = 3.
Dopo aver chiuso il nostro insieme per la somma c’è un’altra osservazione
da fare: ogni frazione può essere scritta in molti (infiniti) modi, ad esempio:
1 2
4 = 8 . Formalmente si defisce una relazione di equivalenza su Z × (Z \ 0) in
questo modo:
(m, n) ∼ (p, q) ⇔ m · q = n · p (13.7)
(che è la solita definizione di uguaglianza tra rapporti leggendo (m, n) come
m
n ). Si verifica subito che è una relazione di equivalenza e si pone Q =
[Z × (Z \ 0)] ∼ .
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