Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Usando ripetutamente il fatto che h è un omomorfismo e che che F è
campo, si prova che f conserva le operazioni.
Abbiamo dimostrato il teorema nel caso generale, anche se ci interessava
solo per Z e Q, perché non richiede nessuna fatica in più. Questo è un esempio
concreto della tendenza a generalizzare comune in matematica.
Non è difficile estendere a Q l’ordine di Z. Osserviamo innanzitutto che
basta definire quali sono i razionali positivi. Abbiamo già visto infatti che in
ogni anello ordinato x ≤ y ⇔ y − x ≥ 0. Ora se vogliamo che l’ordine ≤ su Q
renda (Q, ≤) un campo ordinato (ossia un campo che sia un anello ordinato)
> 0 ⇔ m · n > 0. Infatti se m · n > 0 segue:
dobbiamo porre m
n
1. m > 0, n > 0
2. −m > 0. − n > 0
Studiamo caso per caso:
1. n > 0 ⇒ 1
m
n > 0 ⇒ n > 0
2. −n > 0 ⇒ 1
−n
Viceversa, se m
n
⇒ −m
−n
> 0 allora
1. n > 0 e allora n m
n
2. n < 0 e allora n m
n
> 0
= m > 0, quindi m · n > 0
= m < 0, quindi m · n > 0
In questo modo la definizione è obbligatoria, cioè, se esiste un’ordine che
estenda quello degli interi e che renda Q ordinato, è unico.
13.3 Costruzione dei reali di Dedekind
13.3.1 Accenni sulla vita e opere
Julius Wilhelm Richard Dedekind nasce a Brunswick nel 1831; a 19 anni
entra nell’Università di Gottinga e partecipa al Seminario di Matematica e
Fisica fondato da M.A. Stern. Lì conosce Reimann e Dirichlet e consegue a
soli 22 anni il dottorato con una tesi dal titolo: “Sugli elementi della teoria degli
integrali di Eulero” con relatore Gauss. Nel 1858 viene nominato professore
496