Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

sin(x) = x − x3 x5
+ − . . .
3! 5!
possiamo ben immaginare che (per quanto riguarda le serie) lo sviluppo di ex non sia altro che la somma della serie del coseno a cui aggiungiamo i volte la
serie del seno.
Dal momento che nel ’700 non c’era tutta quell’attenzione per il rigore formale
e per le verifiche delle varie convergenze, si giunse direttamente alla formula
che avevamo scritto all’inizio, e si usava tale procedimento come dimostrazione.
Ponendo allora ϑ = π si ottiene quella che da molti è chiamata “la formula più
bella della matematica”, che lega tra loro tutte e sole le costanti più importanti,
ovvero:
e iπ = −1
e quindi passando ai logaritmi si ha ln(−1) = iπ.
Essa stabiliva che i logaritmi di numeri negativi erano numeri immaginari puri,
chiudendo definitivamente il discorso.
Eulero dimostrerà in seguito quindi che ogni numero complesso (quindi anche
reale negativo) ammette in ambito complesso infiniti logaritmi, e oggi tale
formula è nota come “formula del logaritmo complesso”, che riportiamo di
seguito:
log(z) = log|z| + iarg(z)
Se infatti z è numero reale positivo, il termine arg(z) è zero quindi si ha il
classico logaritmo reale.
9.3.4 George Berkeley: i problemi delle fondamenta
27
Il vescovo e filosofo irlandese George Berkeley (1685-1753) propose una
critica radicale all’analisi infinitesimale (così come sviluppata al suo tempo)
nell’opuscolo The Analyst, pubblicato nel 1734. La mancanza di rigore era così
netta, a suo avviso, da spingerlo a dichiarare che la nuova disciplina fondata
da Newton e Leibniz pretendeva di “provare i [propri] principi a partire dalle
conclusioni”, anziché il contrario.
La critica del filosofo si spingeva fino alla definizione stessa delle flussioni di
Newton, mai espressa rigorosamente dallo scienziato inglese: in uno dei passaggi
più celebri dell’Analyst l’autore si domandava “Che cosa sono queste
27 questa sezione è ripresa da [6].
321