Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

In questo modo si vede che il Paradosso di Russell non ha più senso.
In realtà, per evitare la formazione di frasi impredicative sarà necessaria
un’ulteriore suddivisione dell’universo. Ogni tipo viene suddiviso in ordini
perché oggetti dello stesso tipo possono avere ordini diversi a seconda delle
espressioni definitorie che li individuano. La divisione in ordine viene quindi
effettuata in base al grado di complessità delle definizioni con cui l’insieme è
stato introdotto. Per esempio, se per definire un insieme x si fa riferimento
ai tipi il cui ordine massimo è n, allora x apparterrà a un tipo il cui ordine è
n + 1.
Per semplicità mostro di seguito la costruzione della suddivisione in ordini
delle proposizioni.
Gli individui costituiscono i termini delle proposizioni elementari, quelle
cioè, che non contengono variabili vincolate. Le proposizioni elementari, insieme
a quelle che contengono solo individui come variabili apparenti, le chiamiamo
proposizioni del primo ordine. Queste formano il secondo tipo logico.
Possiamo allora formare proposizioni nelle quali occorrono, come variabili, proposizioni
del primo ordine, formando così le proposizioni del secondo ordine
che formeranno insieme il terzo tipo logico, .... E così via.
Mentre la distinzione in tipi ci informa circa il livello dell’universo stratificato
in cui si trova un dato oggetto, la suddivisione in ordini ci dice come è
stato possibile raggiungere quel dato oggetto.
La teoria che viene fuori dalla suddivisione in tipi ed in ordini viene chiamata
Teoria dei Tipi ramificati per distinguerla dalla teoria dei tipi semplici
nella quale non compare la distinzione in ordini.
17.4.3 Gli assiomi
Con l’ausilio dei tipi ramificati si evitano effettivamente le antinomie, però
dall’altra parte, si ha che alcuni teoremi importanti non sono più suscettibili di
dimostrazione nel loro nuovo contesto perché il quantificatore universale sarà
sempre relativizzato a un tipo e a un ordine.
Come scrisse Casari:
la difficoltà si traduce ora nell’esistenza di numeri reali di ordini diversi
e ... nell’impossibilità in generale di trattare con sufficiente libertà gli
insiemi di numeri reali. Più particolarmente, non si potrà mai parlare di
tutti i reali che soddisfano ad una certa condizione ma sempre e soltanto
di tutti i reali di un dato ordine che soddisfano a quella condizione.
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