Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

• Si consideri un insieme ben definito M con la potenza della classe numerica
(II) e sia M’ un suo qualsiasi sottoinsieme infinito; o la classe M’ può
essere pensata sotto forma di successione semplicemente infinita, oppure
è possibile rappresentare biunivocamente l’uno sull’altro i due insiemi M
e M’.
• Si consideri un insieme ben definito M della seconda potenza, un sottoinsieme
M’ di M e un sottoinsieme M” di M’ tali che M” sia rappresentabile
biunivocamente su M e M’ sia rappresentabile biunivocamente
su M; allora M’ è rappresentabile biunivocamente anche su M”.
12.8.2 Relazione tra ordinali e cardinali
La relazione che sussiste tra queste due tipologie di numeri è completamente
diversa a seconda che si parli di insiemi finiti o infiniti. Nei Beiträge
Cantor chiama insiemi finiti gli insiemi che hanno un numero cardinale finito;
tutti gli altri transfiniti.
Consideriamo il caso di insiemi finiti; in questa situazione gli interi positivi
hanno la duplice natura di cardinale e ordinale. Il primo deve essere inteso
come ‘quanti elementi ci sono nell’insieme’, il secondo invece come ‘quali posti
dell’insieme sono coperti’. Ad esempio, se un insieme M ha 100 elementi ordinati
in un modo dato, uno di essi sarà primo, uno il secondo e così via fino al
centesimo; dopo di che sarà sempre possibilie cambiarli di posizione, ma anche
col nuovo ordinamento le posizioni da essi occupate andranno dalla prima alla
centesima.
Nell’infinito invece una trasposizione può modificare sia il posto degli elementi
che il numero ordinale associato all’insieme di partenza. Ad esempio,
consideriamo la successione:
a1, a2, a3, ... (12.16)
Supponiamo ora di riordinarla considerando prima tutti gli elementi con indice
dispari e poi con quello pari; otteniamo così la successione:
a1, a3, ....; a2, a4, ... (12.17)
Quindi la (12.17) è formata da due successioni infinite, poste una dopo l’altra
e possiamo quidi assegnargli l’ordinale 2ω. La prima invece è un’unica successione
infinita e quindi gli viene associato l’ordinale ω. Abbiamo quindi usato
gli stessi elementi, ma a seconda dell’ordine l’ordinale è cambiato:
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