Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

le proprietà indicate sopra.
Basterà dimostrare la cosa per un segmento; prendiamo il primo, NN1.
I cerchi passanti per i punti N e N1 formano un fascio semplicemente infinito,
e i loro centri giacciono su una retta g determinata; indichiamo mediante la
distanza u da un punto fisso O di g la posizione di uno di questi centri. Alla
grandezza u si potrà sempre assegnare come dominio di variabilità un intervallo
(α...β) tale che, per ogni cerchio corrispondente a un u, uno dei due archi
che collegano N e N1 verrà a trovarsi per intero nel dominio A.
I centri di quei cerchi del nostro fascio che passano per i punti
M1, M2, ..., Mν, ...
dell’insieme (M) formano sulla retta g un insieme di punti numerabile
siano
P1, P2, ..., Pν, ...;
ω1, ω2, ..., ων, ...
i corrispondenti valori di u.
Se ora nell’intervallo (α...β) prendiamo un numero η che non sia uguale a nessun
ων (il che è sempre possibile per il teorema introdotto sopra), assumendo
u = η otteniamo un cerchio del nostro fascio sul cui contorno non giace nessun
punto dell’insieme (M) e che, essendo α < η < β, ci darà un arco che collega
i punti N e N1 e possiede le proprietà richieste.
Resta così dimostrato che due punti N e N ′ qualsiasi del dominio a, che è quello
che rimane dopo la sottrazione di un insieme di punti numerabile e ovunque
denso (M) ad A, possono essere collegati mediante una linea continua l ′ , formata
da un numero finito di archi di cerchio, i cui punti appartengono tutti al
dominio a - che non contiene cioè alcun punto dell’insieme (M). Sarebbe anche
possibile collegare, usando gli stessi strumenti, i punti N e N ′ mediante una
linea continua conforme a una legge analitica unica e contenuta per intero nel
dominio a. Si riallacciano a questi teoremi alcune riflessioni sulla natura dello
spazio tridimensionale da porre a fondamento del mondo reale per descrivere
e spiegare concettualmente i fenomeni che vi hanno luogo. Esso viene considerato
com’è noto, totalmente continuo a causa delle forme in esso presenti,
ma anche e soprattutto per via dei movimenti che vi hanno luogo. In base alle
ricerche, coincidenti nel tempo e indipendenti l’ una dall’ altra, di Dedekind
(si veda il suo opuscolo Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig 1872)
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