Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

numeri e le relazioni geometriche fra punti con relazioni algebriche. Così i problemi
geometrici possono venire tradotti in problemi algebrici e risolte con le
regole, in un certo senso automatiche, dell’algebra. Questa traduzione presenta
due notevoli vantaggi: rende pressoché uniforme la trattazione di tutte le
questioni geometriche; fa scomparire le differenze inessenziali tra figura e figura
permettendo così di raggiungere risultati di ampia generalità. In tal modo
la geometria diviene una scienza essenzialmente analitica in cui ogni problema
ben fondato, se di grado non superiore al quarto, diviene automaticamente
risolubile.
La geometria analitica traducendo in termini algebrici le nozioni di punto,
retta, piano e le relazioni intercorrenti fra essi, è in grado di rendere chiara e
uniforme la trattazione di tutti i problemi geometrici e rappresenta una tappa
nuova rispetto ai greci(che non avevano saputo indicare una via per risolvere
tali problemi, limitandosi a risolverli caso per caso, con accorgimenti ingegnosi
ma di portata circoscritta). La molla che spinge Cartesio ad “inventare” la
geometria analitica è la stessa che lo ha spinto alla fondazione della nuova
metafisica, si tratta cioè di superare la frammentazione del sapere scientifico
degli antichi e allo stesso tempo ostacolare una analoga tendenza alla perdita
di unità presente nella filosofia moderna.
E’ importante ricordare che la geometria cartesiana aveva come intento una
costruzione geometrica: “Tutti i problemi di geometria si possono facilmente
ridurre a tali termini, che in seguito per costruirli basta conoscere la lunghezza
di alcune rette e non il ricondurre la geometria all’algebra”.
Il metodo generale che consentiva l’applicazione dell’algebra alla geometria
si fondava sull’idea di associare delle equazioni algebriche alle curve e alle
superfici e prende appunto il nome di geometria analitica o geometria delle
coordinate. Il procedimento è così sintetizzabile: si parte da un problema
geometrico, lo si traduce in un linguaggio di un’equazione algebrica e infine,
dopo aver semplificato l’equazione quanto più possibile, si risolve tale equazione
geometricamente. Nell’affrontare un dato problema Descartes diceva di
seguire questi passi:
1. dare dei nomi a tutte le linee che sembrano necessarie per la costruzione
del problema, sia a quelle ignote che a quelle note,
2. guardare in che modo tali linee sono in rapporto tra loro fino a che non si
sia trovato un modo di esprimere una medesima quantità in due maniere
diverse: quello che si chiama un’equazione in una incognita,
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