Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

15.2 Il V postulato di Euclide
L’opera di Euclide intitolata Elementi è stata usata per secoli come manuale
per insegnare il metodo scientifico-deduttivo nelle scuole. Negli Elementi
si trovano definizioni, postulati e teoremi, i quali sono dimostrati in maniera
rigorosa a partire dagli assiomi o dai postulati, o da teoremi già dimostrati.
Nel libro l’autore chiama parallele due rette complanari che, prolungate comunque,
non si incontrano (Def. XXIII). Il V postulato dice: “Se una linea
retta, cadendo sopra due altre fa gli angoli interni da una medesima parte la
cui somma sia minore di due retti, quelle due prolungate da questa parte si
incontrano.”
Mentre gli altri assiomi e postulati della teoria di Euclide erano evidentemente
veri, il V postulato ha sempre destato interesse e dubbi, perché non
rimanda ad alcuna costruzione geometrica che possa limitarsi sempre ad una
porzione finita del piano. Per questo motivo molti matematici ritennero che
tale postulato non fosse così evidente e che, di conseguenza, andasse dimostrato;
i primi a muoversi in questo senso furono Tolomeo (II d.C.) e Proclo
(410-485). Successivamente molti altri tentarono ancora nel corso dei secoli:
prima i matematici arabi, poi i geometri del ’500 e ’600 con la riscoperta dei
classici. Nella maggior parte di questi tentativi si è cercato di dedurlo da altre
proposizioni all’apparenza più intuitive oppure di dare una nuova definizione
di rette parallele, nel tentativo di rendere più facile la sua dimostrazione.
Il primo a tentare una dimostrazione di tipo differente fu Gerolamo Saccheri
(1667-1733), utilizzando il metodo di dimostrazione per assurdo, e dimostrando,
di fatto, la coerenza della geometria non-euclidea iperbolica.
15.2.1 Gerolamo Saccheri
Il gesuita Gerolamo Saccheri fu indirizzato alla lettura e allo studio degli
Elementi di Euclide da un professore del Collegio dei gesuiti di Brera. Egli
fu colpito dal metodo della dimostrazione per assurdo, tanto da decidere di
analizzarla sistematicamente nella sua opera Logica demonstrativa del 1697 e
di utilizzarla poi per dimostrare la veridicità del V postulato nella sua più
conosciuta opera Euclides ab omni naevo vindicatus, sive conatus geometricus
quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia (solitamente
tradotto e abbreviato in “Euclide riscattato da ogni difetto”) del 1733.
A questo scopo, Saccheri assunse come dati i primi 4 postulati e le prime 28
proposizioni (che ricordiamo, erano indipendenti dal V postulato) e la falsità
536