Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Si dimostra che R determina una partizione degli elementi di A in classi
esaustive e disgiunte, ogni elemento cioè, appartiene ad una ed una sola classe.
Ogni classe così individuata, è quindi rappresentata da uno qualsiasi dei
suoi elementi.
La “definizione per astrazione” proposta da Peano consiste nel definire
un nuovo oggetto, φa come ciò che hanno in comune tutti gli oggetti che
appartengono alla stessa classe d’equivalenza di a. Per esempio “il numero
cardinale di α”, viene definito come la proprietà comune a tutte le classi che
hanno lo stesso numero cardinale di α - dove “aver lo stesso numero cardinale
di” è, come abbiamo visto, ben definita. Così il numero zero può essere definito
come il numero cardinale della classe vuota, il numero uno come il numero di
ogni classe che ha un solo elemento, e così via. I numeri infiniti possono essere
definiti come i numeri di quelle classi il cui numero resta invariato quando si
sia loro tolto un elemento. Infine i numeri naturali si possono definire come
quei numeri che non sono infiniti. Le operazioni aritmetiche possono poi essere
definite alla maniera di Cantor, come operazioni tra insiemi.
Pur riconoscendo che l’aritmetica potrebbe cominciare da qui, invece che
dai suoi assiomi, Peano non sviluppa questa seconda possibilità. Fu invece
proprio essa ad attrarre Russell, almeno per due ragioni:
1. consentiva un trattamento unificato per l’aritmetica dei numeri finiti e
transfiniti
2. permetteva una ulteriore riduzione dei termini primitivi usati negli assiomi
di Peano a termini che Russell riteneva essere puramente logici,
realizzando così una analisi filosofica più profonda.
Il problema di fondo è che quando si parla di proprietà comune a due oggetti,
sostanzialmente si sta parlando di un predicato comune a questi, e quindi
utilizzando la logica soggetto-predicato tanto rifiutata dai logicisti. Dunque
Russell riesce a rendere questa proprietà comune definendola in termini di
relazioni.
A questo punto, secondo Russell vi sono due possibilità: la prima è quella
di affermare che l’entità giusta, cioè il numero di una classe, è qualcosa che
noi affermiamo attraverso un processo psicologico di intuizione; la seconda,
è quella di costruire questa entità in modo che la sua esistenza ed unicità
risultino dimostrate. Russell sceglie la seconda via, identificando il numero di
una classe con la classe do tutte le classi cardinalmente simili alla classe data.
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