Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

• possiamo asserire P ∧ Q se e solo se possiamo asserire entrambe P e Q
• possiamo asserire P → Q se e solo se possiamo asserire P e abbiamo una
costruzione che, unita a qualunque costruzione che provi P, porterebbe
automaticamente alla prova di Q
• possiamo asserire P ↔ Q se e solo se possiamo asserire P → Q e Q → P
• possiamo asserire ∀xP(x) se e solo se abbiamo un metodo di costruzione
generale che
• possiamo asserire ∃xP(x) se e solo se siamo effettivamente in grado di
costruire un elemento a tale che valga P(a).
Si noti che dall’interpretazione del condizionale P → Q e della negazione ¬P
discende che per gli intuizionisti non vale la legge della doppia negazione forte
(¬¬P → P). Gli intuizionisti non accettano, cioè, che sia possibile realizzare
la costruzione di P ogni volta che si è in grado di portare a contraddizione
l’ipotesi che la realizzazione di P porti ad una contraddizione. Chiaramente,
il rifiuto del terzo escluso e quello della doppia negazione forte sono tra loro
equivalenti.
Per quanto riguarda il rapporto logica-matematica, Heyting pensava che
la logica fosse subordinata alla matematica. Inizialmente egli era dello stesso
parere di Brouwer, per questo riteneva, come Brouwer, che non avesse senso la
costruzione di un sistema formale della matematica, perché le possibilità del
pensiero superano l’espressività finita del linguaggio.
La sua posizione cambiò per la prima volta nel 1954: egli non considerava
più la logica come espressione della matematica, bensì come una sua parte: la
logica è costituita dai teoremi più generali della matematica.
Nel 1974, infine, Heyting affermò che la logica può essere definita in tre modi:
come regola del linguaggio, come riferimento a una teoria filosofica sul mondo
(quando si parla di verità) e come insieme dei teoremi della matematica. Nei
primi due casi quindi la logica è un’applicazione della matematica, nell’ultimo
una sua parte.
Nonostante questo, nel suo saggio del 1930 Heyting procedette con la formalizzazione
della logica intuizionista. Questo non era in contraddizione con
il suo pensiero, perché egli distingueva due diverse funzioni del metodo assiomatico:
la funzione descrittiva, propria di quei sistemi in cui il metodo
assiomatico non ha lo scopo di fondare una teoria ma solamente di sistematizzare
le conoscenze già ottenute indipendentemente, e la funzione creativa,
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