Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

tra matematica e logica, per Quine, si situa precisamente al confine tra logica
elementare e logica la teoria delle classi.
L’obiezione di Quine non è dunque diretta, come molte altre a particolari
aspetti del logicismo russelliano - come ad esempio il principio del circolo
vizioso, l’assioma dell’infinito, la teoria dei tipi, l’assioma della scelta, ecc.
Essa è diretta al fondamento stesso della costruzione logicista in qualsiasi forma
possibile. Infatti poiché si può dimostrare che la logica elementare si può
assiomatizzare in modo completo mentre l’aritmetica non può essere completamente
assiomatizzata, ne deriva che non può esistere alcun metodo per ridurre
l’aritmetica alla logica elementare. Per fare un esempio, anche se i paradossi
non fossero esistiti e la teoria di Frege si fosse rivelata ineccepibile, l’obiezione
di Quine resterebbe in piedi: la teoria di Frege non rappresenterebbe
una riduzione dell’aritmetica alla logica, ma semmai una riduzione riuscita
dell’aritmetica alla logica più la teoria delle classi.
Sono molti, oggi gli autori che concordano con Quine nel collocare la teoria
delle classi (o delle proprietà) al di fuori della logica vera e propria, e credo
che sia soprattutto questo, piuttosto che le numerose obiezioni sollevate contro
questo o quell’aspetto del sistema dei Principia, ad aver decretato, per la
maggior parte degli autori, la definitiva uscita di scena del logicismo come
possibile filosofia della matematica.
17.5.2 Il primo teorema di incompletezza di Gödel: un colpo
mortale per il logicismo?
In un celebre articolo del 1931, Kurt Gödel dimostrò che qualunque sistema
formale abbastanza potente da includere l’aritmetica elementare è incompleto,
nel senso che deve esistere almeno un enunciato del sistema che è vero ma che
non è dimostrabile all’interno del sistema stesso.
Il logicismo asserisce che tutti i teoremi della matematica sono dimostrabili
sulla base dei soli principi della logica; tuttavia il risultato di Gödel dimostra
che nessun sistema assiomatico può essere sufficiente da derivare l’intera matematica:
qualche verità matematica dovrà per forza restare fuori da questa
derivazione. Quindi il logicismo non può essere corretto.
Questa tesi si basa sull’assunto che il logicismo debba asserire che la logica
può essere completamente assiomatizzata. Ma è davvero così?
Certamente questa era la tesi del logicismo di Frege; Frege riteneva che le
verità fondamentali dalle quali sono deducibile tutte le verità dell’aritmetica
dovessero essere in un numero finito. Lo stesso vale anche per Russell, almeno
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