Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

La funzione di Riemann, F (x), era non soltanto continua nell’intorno di ogni
valore di x, ma la sua derivata seconda:
F (x + α) + F (x − α) − 2F (x)
lim
α→0
αα
si avvicina a zero quando α diminuisce senza limite.
Quello che serviva a Cantor era di dimostrare la linearità della funzione F (x),
linearità che su richiesta di Cantar, fu provata da H.A. Schwarz. Prendendo
dunque: F (x) = cx + c ′ e ricordando la relazione (12.6) si ha cx + c ′ =
C0 x2
2 − C1 − . . . − Cn
nn
− . . . ovvero:
x
C0
2
2 − cx − c′ = � (an sin nx + bn cos nx)
n2 In quest’ultima relazione, il secondo membro � (an sin nx+bn cos nx)
n2 è periodico
di periodo 2π (dipendendo dalle funzioni trigonometriche seno e coseno); pertanto
anche il primo membro deve essere periodico e questo poteva succedere
solo se sparivano i termini in x, ossia solo se C0 = c = 0.
l’uguaglianza:
−c
Si ha pertanto
′ = C1 + C2 Cn
+ . . . + + Rn
22 n2 dove Rn è la somma dei termini dall’ (n + 1)- esimo in poi. La serie a destra
è della forma:
∀ε > 0 ∃m : ∀n ≥ m |Rn| < ε
Questo risultato valeva, come Cantor sottolineò, per ogni valore di x.
Ma quanto scritto significava che Rn è uniformemente convergente. Infatti:
e
∀ε > 0 Rn = Cn+1 Cn+2
+
(n + 1) 2 (n + 2) 2 + . . . = −c′ − C1 − . . . Cn
n2 ∀x |Rn| = | − c ′ + C1 + . . . + Cn
n2 | ≤ K(� (1 + 1 1
+ . . . + )) < ε
22 n2 Applicando adesso il risultato di Weieratrass sull’uniforme convergenza si poteva
moltiplicare ogni membro di −c ′ = C1+ C2
22 +. . . + Cn
n2 +Rn per cos n(x−t)dx
e compiendo adesso la legittima integrazione termine a termine fra −π e π si
conclude che cn sin nx + dn cos nx = 0 e di conseguenza dn = cn = 0.
Dunque una rappresentazione di zero per mezzo di una serie trigonometrica
403