Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Da questo punto in poi, Cantor dedica molto spazio nello spiegare cosa sia per
lui l’infinito matematico; per prima cosa gli sembra si presenti come un infinito
improprio, ovvero una variabile, crescente o decrescente al di là di ogni limite,
o decrescente ad una qualsiasi piccolezza, ma come una grandezza che rimane
sempre finita. D’altra parte in quel periodo si era
« sviluppato un altro concetto di infinito sia nel campo della geometria
che in quello della teoria delle funzioni secondo il quale è
diventato comune e necessario immaginarsi nel piano [...] un unico
punto, infinitamente lontano ma determinato; inoltre si dimostra
che il comportamento della funzione nelle vicinanze del punto infinitamente
lontano presenta le stesse caratteristiche di ogni altro
punto posto nel finito...»
Quest’ultimo tipo di infinito viene chiamato da Cantor proprio.
Abbiamo così da una parte un infinito variabile e quindi incrementabile ma
indeterminato; dall’altra invece un infinito che è assolutamente determinato; i
numeri infiniti interi che Cantor definirà in seguito, saranno proprio una manifestazione
di quest’ultimo, ovvero dell’infinito proprio.
Vediamo dunque come nascono queste idee di infinito in Cantor. Oltre che
matematico, Cantor era molto appassionato di filosofia e fu particolarmente
affascinato da due filosofi: Baruch Spinoza e Bernard Placidus Johann Nepomuk
Bolzano. Del primo, che era un filosofo olandese vissuto tra il 1632 e il
1677, Cantor fu colpito soprattutto dal lato metafisico che emerge nell’ Etica
e in particolare dal fatto che accettava l’infinito attuale e distingueva diversi
ordini di infinità. Spinoza concepiva due tipi di infinito attuale: un infinito al
di fuori del quale nulla è, ovvero un infinito assoluto identificato con Dio, e un
infinito solo nel suo genere, ovvero determinato e che non abbraccia tutte le
cose. Chiaramente l’infinito assoluto doveva essere in qualche modo più grande
dell’altro infinito e per Cantor, che era molto religioso, non c’era dunque
nessuna difficoltà nell’accettare sia l’identificazione dell’ infinito assoluto con
Dio, sia considerare tutti gli altri infiniti determinabili in quanto non assoluti.
Ma la visione di Cantor sull’assoluto proprio era più sottile e l’idea gli fu forse
suggerita da Bolzano. Questo infatti accettava l’idea di un infinito attuale,
ma l’innovazione consisteva nel rivendicarne una trattabilità matematica fino
ad allora mai azzardata, arrivando persino a proporre una sorta di aritmetica
degli infiniti che però non ebbe successo. Ma cosa ancora più importante, il
suo studio delle molteplicità infinite in atto lo porta ad introdurre un nuovo
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