Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

abbiamo notato, al teorema fondamentale dell’ aritmetica.
Un’ ulteriore sezione è dedicata al numero dei primi. Questa parte consiste
di un solo teorema e la sua proposizione, ma è considerata un gioiello della
matematica.
PROPOSIZIONE IX.20: I numeri primi sono più di qualsiasi moltitudine fissata
di numeri primi.
Dimostrazione: Siano A, B, C i numeri primi proposti; dico che esistono numeri
primi in maggior numero che A, B, C. Infatti, si prenda il minimo comune
multiplo di A, B, C (VII.36)[vi è descritto come trovare il minimo comune multiplo]
e sia esso K; si aggiunga a K l’ unità U. Ora, il numero K + U o è
primo o non lo è. Dapprima, sia un numero primo; si sono dunque trovati i
numeri primi A, B, C, K + U che sono in maggior numero che A, B, C. Ma
sia adesso il caso in cui, per ipotesi, K + U non è primo, per cui esso è diviso
da un numero primo (VII.31). Sia diviso dal numero primo D; dico che D
non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Infatti, se possibile, sia uguale
[a qualcuno di essi]. Ma A, B, C dividono K, perciò anche D dividerebbe K.
Ma D divide pure K + U; ossia D dividerebbe, pur essendo un numero, anche
l’ unità U che rimane di K + U: il che è assurdo. Quindi D non è uguale a
nessuno dei numeri A, B, C. Ed è, per ipotesi, primo.
L’ importanza e la bellezza di tale teorema risiedono nel fatto che esso è
“semplice” sia nell’ idea che nella dimostrazione ed è tuttora altrettanto significativo
di quando è stato scoperto.
L’ ultima sezione riguarda i numeri pari, dispari e i numeri perfetti (numeri
che sono uguali alle loro parti, cioè alla somma dei loro divisori). L’ ultima
proposizione è la formula per i numeri perfetti, in notazione moderna: se
Sn = 1 + 2 + 2 2 + . . . + 2 n−1 = 2 n − 1 è un numero primo, allora 2 n−1 (2 n − 1) è
un numero perfetto. Gli antichi Greci conoscevano i primi 4 numeri perfetti:
6, 28, 496, 8128. Euclide non dà alcuna risposta alla domanda inversa, ossia
se la formula fornisca o no tutti i numeri perfetti. Sappiamo oggi che tutti
i numeri perfetti pari sono di questo tipo, ma la questione dell’ esistenza di
numeri perfetti dispari costituisce ancora oggi un problema irrisolto.
Quest’ ultima parte ha un notevole interesse storico, perché è un pezzo di
matematica pre-euclidea (era una teoria già nota a Platone), conservata interamente
negli Elementi: le proposizioni IX.21-36 presentano un carattere così
omogeneo da far pensare che esse costituissero un tempo un sistema mate-
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