Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

particolare successione infinita di valori, Cantor avvertì la necessità di fare una
costruzione rigorosa dei numeri reali. Egli, infatti, scrisse:
“Ho cercato di dimostrare che due serie trigonometriche che convergono
e hanno la stessa somma per tutti i valori di x, hann gli
stessi coefficienti;ho poi dimostrato che questo teorema resta vero
se per un numero finito di valori di x si rinuncia o alla convergenza
o all’uguaglianza delle somme delle due serie. L’estensione che ho
in mente consiste in questo: che si può rinunciare alla convergenza
o alla concordanza delle somme delle serie per un numero infinito
di valori di x senza che il teorema cessi di essere vero.
Per raggiungere questo scopo sono, però, costretto a premettere
alcune considerazioni utili non appena siano date delle grandezze
numeriche, in numero finito o infinito”.
Non tutti i matematici di allora accettarono le varie definizioni e costruzioni
dei numeri reali presentate da Cantor e da altri suoi contemporanei. Uno
di questi fu Kronecker, il quale esigeva che l’aritmetica fosse finita e che l’aritmetica
e l’analisi venissero basate sui numeri interi. Egli sosteneva, infatti:
“Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è opera dell’uomo”. Fu questo il
principale motivo di conflitto e disaccordo con Cantor che portò Kronecker ad
opporsi in tutti i modi alla diffusione delle teorie di Cantor e al suo avanzamento
nella carriera accademica.
Come leggiamo in [13, 1992], la matematica non poteva fare a meno dei numeri
irrazionali ma i “puristi” matematici si chiedevano: sono numeri, queste
quantità irrazionali? Un numero rispettabile aveva un discorso, un’espressione
del suo valore di lunghezza finita. Una grandezza non dominabile con questi
strumenti aveva qualcosa di infido. Ma se almeno fosse stato possibile definire
le quantità irrazionali per mezzo di quelle razionali, il fatto di trattarle come
numeri avrebbe cominciato ad avere una giustificazione concettuale.
Fu per questo motivo che la costruzione dei numeri reali effettuata da Cantor
ebbe come punto di partenza i razionali.
Osserviamo inoltre che fu fondamentale il contatto con Weierstrass, il quale
avvicinò Cantor alla cosiddetta ricerca sui fondamenti. Il principale scopo di
questa disciplina è quello di individuare un piccolo numero di concetti semplici
e sicuri sulla cui base ricostruire, per mezzo di defizioni rigorose, l’intero
edeficio della matematica. Era opinione comune che il fondamento della matematica
andasse ricercato nell’aritmetica elementare che studia le proprietà
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