Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Se a e b sono due grandezze variabili associabili in modo univoco e completo
(cioè se i loro ambiti di variazione hanno uguale potenza) le diremo equivalenti
ed esprimeremo tale fatto mediante una di queste due formule,
a ∼ b, b ∼ a
Da questa definizione dell’equivalenza di due variabili segue facilmente che
a ∼ a e che, se a ∼ b e b ∼ c, allora a ∼ c. Presentiamo ora un teorema che ci
sarà utile in seguito:
Teorema 52. E Se a ′ , a ′′ , a ′′′ , . . . , a ν , . . . è una successione, finita o infinita,
di variabili o costanti senza connessione fra loro, b ′ , b ′′ , b ′′′ , . . . , b ν , . . . è un’altra
successione con queste stesse caratteristiche, a ogni variabile a (ν) della prima
successione corrisponde una variabile b (ν) determinata della seconda e le variabili
corrispondenti sono sempre equivalenti l’una all’altra, cioé a (ν) ∼ b (ν) ,
allora si ha
a ∼ b
quando
e
a ≡ {a ′ , a ′′ , a ′′′ , . . . , a ν , . . . }
b ≡ {b ′ , b ′′ , b ′′′ , . . . , b ν , . . . }.
Dato per valido questo teorema, la cui dimostrazione risulta abbastanza
semplice, ci resta da dimostrare il teorema (D). Per fare ciò, osserviamo
che tutti i numeri razionali ≥ 0 e ≤ 1 possono essere scritti sotto forma di
successione semplicemente infinita
φ1, φ2, φ3, . . . , φν, . . . .
Il modo più semplice di farlo è il seguente: se p/q è la forma irriducibile di un
numero razionale che sia ≥ 0 e ≤ 1 ( nel qual caso p e q saranno numeri interi
non negativi con massimo comun divisore 1), si ponga
p + q = N.
A ogni numero p/q corrisponderà allora un valore intero positivo determinato
di N, e a ognuno di tali valori di N corrisponderà viceversa solo una quantità
finita di numeri p/q.
Se ora pensiamo i p/q ordinati in modo tale che quelli con un valore di N
434